Determine os valores das constantes A e B para que a função f seja contínua em \mathbb{R}. f(x)=\left\{\begin{aligned}(x+2)^{2}-8, & \text { se } x<1 \\\ A x+B, & \text { se } 1 \leq x<3 \\\\ -(x-5)^{2}+9, & \text { se } x \geq 3\end{aligned}\right.
e pede: determinar os valores das constantes A e B para que f seja contínua em \mathbb{R}.
Informações relevantes fornecidas:
As três expressões são polinômios (ou um polinômio menos uma constante), definidos em intervalos que se encontram em x=1 e x=3.
Para f ser contínua em \mathbb{R} é preciso que não haja descontinuidade em nenhum ponto; aqui potenciais pontos problemáticos são apenas x=1 e x=3, onde a definição muda de ramo.]
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicação didática):
Uma função é contínua em um ponto c quando o limite pela esquerda em c, o limite pela direita em c e o valor f\text{(c)} existem e são todos iguais.
Polinômios são contínuos em todos os reais, logo cada ramo individual da função é contínuo internamente. Assim, só precisamos checar os pontos de fronteira entre ramos: x=1 e x=3.
Em termos práticos para funções por partes: igualar o valor do ramo à esquerda em c com o valor do ramo que define f\text{(c)} (ou com o ramo à direita, dependendo de qual valor é atribuído em c).
Passo 3
Continuidade em x=1.
Como x=1 é o ponto em que se troca do primeiro ramo para o segundo, calcule o limite pela esquerda (que é simplesmente o valor do primeiro ramo em x=1) e compare com o valor do segundo ramo em x=1.
Valor do primeiro ramo em x=1: peguei essa expressão do enunciado (primeiro caso).
(1+2)^{2}-8 = 3^{2}-8 = 9-8 = 1.
O valor de f no ponto x=1 é dado pelo segundo ramo (pois ele vale para 1\le x<3), ou seja f(1)=A\cdot 1 + B = A + B.
Para continuidade em x=1 devemos ter
A + B = 1.
Essa é a primeira equação que relaciona A e B.
Passo 4
Continuidade em x=3.
Em x=3 troca-se do segundo ramo para o terceiro. Precisamos que o limite pela esquerda em 3 (valor do segundo ramo aproximando por valores menores que 3) seja igual ao valor do terceiro ramo em 3 (que é o valor de f(3) porque o terceiro ramo vale para x\ge 3).
Valor do terceiro ramo em x=3: peguei essa expressão do enunciado (terceiro caso).
-(3-5)^{2}+9 = -(-2)^{2}+9 = -4+9 = 5.
O limite pela esquerda em 3 é o valor do segundo ramo em x=3^{-}, que é A\cdot 3 + B = 3A + B.
Para continuidade em x=3 devemos ter
3A + B = 5.
Essa é a segunda equação.
Passo 5
Resolver o sistema linear obtido.
Temos o sistema de duas equações lineares:
\begin{cases} A + B = 1,\\[4pt] 3A + B = 5. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar B:
(3A + B) - (A + B) = 5 - 1 \quad\Rightarrow\quad 2A = 4.
Logo
A = \frac{4}{2} = 2.
Substituindo A=2 em A + B = 1:
2 + B = 1 \quad\Rightarrow\quad B = 1 - 2 = -1.]
Passo 6
Verificação rápida (sempre bom conferir):
Em x=1: A+B = 2 + (-1) = 1, que bate com o valor do primeiro ramo em 1, que calculamos ser 1.
Em x=3: 3A+B = 3\cdot 2 + (-1) = 6-1 = 5, que bate com o valor do terceiro ramo em 3, que calculamos ser 5.
Portanto com A=2 e B=-1 a função fica contínua em x=1 e x=3 e, como cada ramo é polinomial (portanto contínuo internamente), f é contínua em todo \mathbb{R}.