Determine os valores das constantes A e B para que a função f seja contínua em \mathbb{R}.
f(x)=\left\{\begin{array}{lll}A|x+4|+B, & \text { se } & x<-4 \\\ \sqrt{25-x^{2}}+1, & \text { se } & -4 \leq x<4 \\\ A|x-4|+B, & \text { se } & x \geq 4\end{array}\right.

Passo 1

O que o enunciado pede e as informações dadas:
  • Pede: determinar os valores das constantes A e B para que f seja contínua em \mathbb{R}.
  • A função é dada por partes:
    • para x<-4: f(x)=A|x+4|+B;
    • para -4\le x<4: f(x)=\sqrt{25-x^{2}}+1;
    • para x\ge 4: f(x)=A|x-4|+B.
  • As possíveis descontinuidades só podem ocorrer nos pontos onde a definição muda: x=-4 e x=4. Em qualquer outro ponto cada ramo é composto por funções contínuas (valor absoluto ou raiz quadrada em domínio adequado).

Passo 2

Conceito que vou usar (lembrando com jeitinho): para f ser contínua em um ponto c é preciso que
\lim_{x\to c^-} f(x)=\lim_{x\to c^+} f(x)=f\text{(c)}.
No nosso caso, como as peças internas já são contínuas nos intervalos abertos onde valem, só preciso verificar as condições de continuidade em x=-4 e em x=4 (verificar limites laterais e valor da função nesses pontos).

Passo 3

Comportamento do valor absoluto perto de -4\) e de \(4\) (lembrando a definição): para qualquer \(t\), \[|t|=\begin{cases} t, & \text{se } t\ge 0,\\[4pt] -t, & \text{se } t<0. \end{cases}
Aplicando isso:
  • Se x<-4\] então \(x+4<0, logo para o ramo esquerdo |x+4|=-(x+4). Mas ao aproximar x de -4 por valores menores, |x+4|\to 0.
  • Se x\ge 4 então x-4\ge 0, logo para o ramo direito |x-4|=x-4. Ao aproximar x de 4 por valores maiores, |x-4|\to 0.
Isto quer dizer que, nos pontos x=-4 e x=4, as contribuições do termo com |\cdot| tendem a zero ao considerarmos o lado apropriado.]

Passo 4

Calcular os valores relevantes no ponto x=-4.
  • Limite pela esquerda (pegar dado do ramo x<-4): como expliquei, ao aproximar x\to -4^- tem |x+4|\to 0. Assim
\lim_{x\to -4^-} f(x)=\lim_{x\to -4^-}\bigl(A|x+4|+B\bigr)=A\cdot 0 + B = B.
  • Valor da função no ponto x=-4 (usar o ramo que vale em -4\le x<4, peguei esse dado do enunciado): substituindo x=-4 na expressão do meio,
f(-4)=\sqrt{25-(-4)^{2}}+1=\sqrt{25-16}+1=\sqrt{9}+1=3+1=4.
  • Condição de continuidade em x=-4: é necessário que \lim_{x\to -4^-} f(x)=f(-4), ou seja
B=4.

Passo 5

Calcular os valores relevantes no ponto x=4.
  • Limite pela direita (pegar dado do ramo x\ge 4): ao aproximar x\to 4^+ temos |x-4|\to 0, então
\lim_{x\to 4^+} f(x)=\lim_{x\to 4^+}\bigl(A|x-4|+B\bigr)=A\cdot 0 + B = B.
  • Limite pela esquerda em x=4 (usar o ramo do meio, que vale para -4\le x<4; peguei isso do enunciado): aproximando x\to 4^-,
\lim_{x\to 4^-} f(x)=\sqrt{25-4^{2}}+1=\sqrt{25-16}+1=\sqrt{9}+1=3+1=4.
  • Condição de continuidade em x=4: é necessário que \lim_{x\to 4^-} f(x)=\lim_{x\to 4^+} f(x), ou seja
B=4.

Passo 6

Juntando as condições obtidas:
  • Em x=-4 obtivemos B=4.
  • Em x=4 obtivemos novamente B=4.
  • Não apareceu nenhuma equação envolvendo A. Ou seja, a continuidade em \pm 4 exige apenas que B=4; o parâmetro A pode ser qualquer número real e não afeta os limites nesses pontos porque o fator |x\pm 4| zera exatamente nessas posições.
Também convém verificar mentalmente que, com B=4, cada ramo é contínuo nos intervalos onde vale: as expressões A|x+4|+4 e A|x-4|+4 são contínuas em todo \mathbb{R}, e a parte do meio \sqrt{25-x^{2}}+1 é contínua em [-4,4]. Portanto, com B=4 a função inteira é contínua em \mathbb{R}.

Resposta

A\in\mathbb{R}
B=4

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