Determine os valores das constantes A e B para que a função f seja contínua em \mathbb{R}. f(x)=\left\{\begin{array}{lll}A|x+4|+B, & \text { se } & x<-4 \\\ \sqrt{25-x^{2}}+1, & \text { se } & -4 \leq x<4 \\\ A|x-4|+B, & \text { se } & x \geq 4\end{array}\right.
Passo 1
O que o enunciado pede e as informações dadas:
Pede: determinar os valores das constantes A e B para que f seja contínua em \mathbb{R}.
A função é dada por partes:
para x<-4: f(x)=A|x+4|+B;
para -4\le x<4: f(x)=\sqrt{25-x^{2}}+1;
para x\ge 4: f(x)=A|x-4|+B.
As possíveis descontinuidades só podem ocorrer nos pontos onde a definição muda: x=-4 e x=4. Em qualquer outro ponto cada ramo é composto por funções contínuas (valor absoluto ou raiz quadrada em domínio adequado).
Passo 2
Conceito que vou usar (lembrando com jeitinho): para f ser contínua em um ponto c é preciso que
No nosso caso, como as peças internas já são contínuas nos intervalos abertos onde valem, só preciso verificar as condições de continuidade em x=-4 e em x=4 (verificar limites laterais e valor da função nesses pontos).
Passo 3
Comportamento do valor absoluto perto de -4\) e de \(4\) (lembrando a definição): para qualquer \(t\),
\[|t|=\begin{cases} t, & \text{se } t\ge 0,\\[4pt] -t, & \text{se } t<0. \end{cases}
Aplicando isso:
Se x<-4\] então \(x+4<0, logo para o ramo esquerdo |x+4|=-(x+4). Mas ao aproximar x de -4 por valores menores, |x+4|\to 0.
Se x\ge 4 então x-4\ge 0, logo para o ramo direito |x-4|=x-4. Ao aproximar x de 4 por valores maiores, |x-4|\to 0.
Isto quer dizer que, nos pontos x=-4 e x=4, as contribuições do termo com |\cdot| tendem a zero ao considerarmos o lado apropriado.]
Passo 4
Calcular os valores relevantes no ponto x=-4.
Limite pela esquerda (pegar dado do ramo x<-4): como expliquei, ao aproximar x\to -4^- tem |x+4|\to 0. Assim
\lim_{x\to -4^-} f(x)=\lim_{x\to -4^-}\bigl(A|x+4|+B\bigr)=A\cdot 0 + B = B.
Valor da função no ponto x=-4 (usar o ramo que vale em -4\le x<4, peguei esse dado do enunciado): substituindo x=-4 na expressão do meio,
Condição de continuidade em x=4: é necessário que \lim_{x\to 4^-} f(x)=\lim_{x\to 4^+} f(x), ou seja
B=4.
Passo 6
Juntando as condições obtidas:
Em x=-4 obtivemos B=4.
Em x=4 obtivemos novamente B=4.
Não apareceu nenhuma equação envolvendo A. Ou seja, a continuidade em \pm 4 exige apenas que B=4; o parâmetro A pode ser qualquer número real e não afeta os limites nesses pontos porque o fator |x\pm 4| zera exatamente nessas posições.
Também convém verificar mentalmente que, com B=4, cada ramo é contínuo nos intervalos onde vale: as expressões A|x+4|+4 e A|x-4|+4 são contínuas em todo \mathbb{R}, e a parte do meio \sqrt{25-x^{2}}+1 é contínua em [-4,4]. Portanto, com B=4 a função inteira é contínua em \mathbb{R}.