Determine os valores das constantes reais m e p a fim de que x^4+2 x^3+2 x^2+m x+p seja divisível por(x+1)^2.

Passo 1

Nesse exercício a gente tem o polinômio f(x)=x^4+2x^3+2x^2+mx+p e precisa que ele seja divisível por (x+1)^2. Isso significa que x=-1 é raiz dupla, ou seja, temos que fazer f(-1)=0 e f'(-1)=0. O conteúdo aqui é Teorema do Resto para polinômios e multiplicidade de raízes, e vamos precisar também da derivada de um polinômio.

Passo 2

Definimos o polinômio em bloco para facilitar:
f(x)=x^4+2x^3+2x^2+mx+p
Pelo Teorema do Resto, se x+1 é fator então f(-1)=0. Calculamos:
f(-1)=(-1)^4+2(-1)^3+2(-1)^2+m(-1)+p=1-2+2-m+p=1-m+p
Igualando a zero vem 1-m+p=0, logo p=m-1.

Passo 3

Agora vamos à derivada. Temos em bloco
f'(x)=4x^3+6x^2+4x+m
Como precisamos de raiz dupla em x=-1, impomos f'(-1)=0:
f'(-1)=4(-1)^3+6(-1)^2+4(-1)+m=-4+6-4+m=-2+m=0
Isso dá m=2.

Passo 4

Por fim, substituímos m=2 na relação p=m-1 e obtemos p=2-1=1.

Resposta

m=2 e p=1

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