O polinômio
é divisível por
?
E por
?
E por
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o polinômio
é divisível por
, por
, por
e por
. Vamos usar o Teorema do Resto para checar
e, em seguida, usar derivadas para determinar a multiplicidade da raiz
.
Passo 2
Pelo Teorema do Resto,
é fator de
se e só se
. Calculando:
Como
Passo 3
Para saber se
também é fator, precisamos verificar se
é raiz dupla, isto é, se
. A derivada é
Logo,
Como
, temos que
divide
.
Passo 4
Para checar se
divide, vemos se
é raiz de ordem pelo menos 3, isto é, se
. A segunda derivada é
Então,
Logo,
e
também é fator de
.
Passo 5
Para testar a divisibilidade por
, vemos se a multiplicidade da raiz
é pelo menos 4, isto é, se
. A terceira derivada é
Portanto,
Como
é diferente de zero, a multiplicidade da raiz
é exatamente 3, e
não divide
.
Resposta
O polinômio é divisível por
, por
e por
, mas não é divisível por
.