O polinômio x^4+2 x^3-12 x^2-40 x-32 é divisível por x+2 ? E por(x+2)^2 ? E por(x+2)^3 ?
E por (x+2)^4 ?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o polinômio P(x)=x^4+2x^3-12x^2-40x-32 é divisível por x+2, por (x+2)^2, por (x+2)^3 e por (x+2)^4. Vamos usar o Teorema do Resto para checar P(-2)=0 e, em seguida, usar derivadas para determinar a multiplicidade da raiz x=-2.

Passo 2

Pelo Teorema do Resto, x+2 é fator de P(x) se e só se P(-2)=0. Calculando:
P(-2)=(-2)^4+2(-2)^3-12(-2)^2-40(-2)-32=16-16-48+80-32=0
Como P(-2)=0, concluímos que x+2 divide P(x).

Passo 3

Para saber se (x+2)^2 também é fator, precisamos verificar se x=-2 é raiz dupla, isto é, se P'(-2)=0. A derivada é
P'(x)=4x^3+6x^2-24x-40
Logo,
P'(-2)=4(-2)^3+6(-2)^2-24(-2)-40=-32+24+48-40=0
Como P'(-2)=0, temos que (x+2)^2 divide P(x).

Passo 4

Para checar se (x+2)^3 divide, vemos se x=-2 é raiz de ordem pelo menos 3, isto é, se P''(-2)=0. A segunda derivada é
P''(x)=12x^2+12x-24
Então,
P''(-2)=12,(-2)^2+12(-2)-24=48-24-24=0
Logo, P''(-2)=0 e (x+2)^3 também é fator de P(x).

Passo 5

Para testar a divisibilidade por (x+2)^4, vemos se a multiplicidade da raiz -2 é pelo menos 4, isto é, se P'''(-2)=0. A terceira derivada é
P'''(x)=24x+12
Portanto,
P'''(-2)=24(-2)+12=-48+12=-36neq0
Como P'''(-2) é diferente de zero, a multiplicidade da raiz -2 é exatamente 3, e (x+2)^4 não divide P(x).

Resposta

O polinômio é divisível por x+2, por (x+2)^2 e por (x+2)^3, mas não é divisível por (x+2)^4.

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