b) Usando a fatoração acima, determine os valores das constantes reais
e
de modo que
seja divisível por
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar as constantes reais m e n de modo que o polinômio P(x)=x^4 - x^3 + m x^2 + 37x + n seja divisível por x^2 + x - 20. O conteúdo envolvido é divisibilidade de polinômios e usaremos o teorema do resto, que diz que as raízes do divisor devem anular P.
Passo 2
Fatoramos o divisor:
. Assim, as raízes são
e
, e devemos ter
e
.
Passo 3
Para
, calculamos
:
Para
, calculamos
:
Passo 4
Resolvendo o sistema
subtraímos a primeira equação da segunda:
, o que dá
. Substituindo em
, temos
e, portanto,
.
Resposta
m = -25 e n = 60