b) Usando a fatoração acima, determine os valores das constantes reais m e n de modo que x^4-x^3+ +m x^2+37 x+n seja divisível por x^2+x-20.

Passo 1

O enunciado pede para determinar as constantes reais m e n de modo que o polinômio P(x)=x^4 - x^3 + m x^2 + 37x + n seja divisível por x^2 + x - 20. O conteúdo envolvido é divisibilidade de polinômios e usaremos o teorema do resto, que diz que as raízes do divisor devem anular P.

Passo 2

Fatoramos o divisor: x^2 + x - 20 = (x + 5)(x - 4). Assim, as raízes são x = -5 e x = 4, e devemos ter P(-5) = 0 e P(4) = 0.

Passo 3

Para x = 4, calculamos P(4):
P(4)=4^4 - 4^3 + mcdot4^2 + 37cdot4 + n = 256 - 64 + 16m + 148 + n = 340 + 16m + n = 0
Para x = -5, calculamos P(-5):
P(-5)=(-5)^4 - (-5)^3 + mcdot(-5)^2 + 37cdot(-5) + n = 625 + 125 + 25m - 185 + n = 565 + 25m + n = 0

Passo 4

Resolvendo o sistema
340 + 16m + n = 0 565 + 25m + n = 0
subtraímos a primeira equação da segunda: 225 + 9m = 0, o que dá m = -25. Substituindo em 340 + 16m + n = 0, temos 340 - 400 + n = 0 e, portanto, n = 60.

Resposta

m = -25 e n = 60

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