(FGV-SP) Sabendo que 3 é raiz dupla de P(x)=x^4-3 x^3-7 x^2+15 x+1, determine as outras raízes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um polinômio P(x) = x^4 - 3x^3 - 7x^2 + 15x + 1 e sabemos que 3 é uma raiz dupla dele. Isso significa que (x - 3)^2 é um fator desse polinômio. Para encontrar as outras raízes, vamos precisar usar divisão de polinômios e resolver uma equação quadrática. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o polinômio P(x) por (x - 3)^2. Isso vai nos dar um polinômio de grau 2 restante. Para facilitar, vamos expandir (x - 3)^2:
(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9
Agora, vamos dividir P(x) por x^2 - 6x + 9.

Passo 3

Realizando a divisão polinomial:
x^4 - 3x^3 - 7x^2 + 15x + 1x^2 - 6x + 9
O resultado dessa divisão será um polinômio quadrático. Após a divisão, encontramos:
x^2 + 3x + 11
Mas para mantermos a precisão, melhor calcularmos:
Após a divisão, o quociente é x^2 + 3x - 11.

Passo 4

Com o quociente x^2 + 3x - 11, podemos agora resolver a equação quadrática para encontrar as outras raízes. A equação é:
x^2 + 3x - 1 = 0
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação.

Passo 5

A fórmula de Bhaskara é:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 1, b = 3 e c = -1. Substituindo na fórmula:
x = -3 pm raiz3^2 - 4 cdot 1 cdot (-1)2 cdot 1
x = -3 pm raiz9 + 42
x = -3 pm raiz132

Resposta

As outras raízes do polinômio são x = -3 + raiz132 e x = -3 - raiz132.

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