(FGV-SP) Sabendo que 3 é raiz dupla de
, determine as outras raízes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um polinômio
e sabemos que
é uma raiz dupla dele. Isso significa que
é um fator desse polinômio. Para encontrar as outras raízes, vamos precisar usar divisão de polinômios e resolver uma equação quadrática. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos dividir o polinômio
por
. Isso vai nos dar um polinômio de grau
restante. Para facilitar, vamos expandir
:
Agora, vamos dividir
por
.
Passo 3
Realizando a divisão polinomial:
O resultado dessa divisão será um polinômio quadrático. Após a divisão, encontramos:
Mas para mantermos a precisão, melhor calcularmos:
Após a divisão, o quociente é
.
Passo 4
Com o quociente
, podemos agora resolver a equação quadrática para encontrar as outras raízes. A equação é:
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação.
Passo 5
A fórmula de Bhaskara é:
Aqui,
,
e
. Substituindo na fórmula:
Resposta
As outras raízes do polinômio são
e
.