(U. F. Ouro Preto-MG) Determine o polinômio p(x) tal que (3 x+2) cdot p(x)=3 x^3+x^2-6 x-2+p(x).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um polinômio p(x) tal que (3x+2),p(x)=3x^3+x^2-6x-2+p(x). O conteúdo principal aqui é manipular polinômios, isolar p(x) e usar divisão de polinômios para determinar seu grau e coeficientes.

Passo 2

Começamos trazendo todos os termos que envolvem p(x) para o mesmo lado da igualdade. Temos:
(3x+2)p(x)-p(x)=3x^3+x^2-6x-2
Fatorando p(x) do lado esquerdo:
p(x)igl((3x+2)-1r)=3x^3+x^2-6x-2,
ou seja
p(x)igl(3x+1r)=3x^3+x^2-6x-2

Passo 3

Agora podemos escrever
p(x)=3x^3+x^2-6x-23x+1
Para que p(x) seja de fato um polinômio, ao dividir o numerador por 3x+1 o resto deve ser zero.

Passo 4

Vamos fazer a divisão de 3x^3+x^2-6x-2 por 3x+1 passo a passo:
  1. Dividimos 3x^3 por 3x), obtendo x^2.
  2. Multiplicamos (3x+1)cdot x^2 =3x^3 + x^2 e subtraímos: sobra -6x-2).
  3. Agora dividimos -6x) por 3x, obtendo -2).
  4. Multiplicamos (3x+1)cdot(-2)=-6x-2 e o resto é zero.

Passo 5

Como a divisão dá quociente x^2-2 e resto zero, concluímos que
p(x)=x^2-2

Resposta

p(x)=x^2-2

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