Determine os valores de r para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma y=t^{\prime} para t>0.
t^{2} y^{\prime \prime}-4 t y^{\prime}+4 y=0

Passo 1

Temos a equação diferencial
t^{2}y''-4t\,y'+4y=0,
que é uma equação de Cauchy–Euler (ou equidimensional). Nessa equação, buscamos soluções do tipo
y=t^{r},
com t>0. Vamos substituir essa forma e encontrar os valores de r.

Passo 2

Assumindo y=t^{r}, calculamos as derivadas necessárias:
y'=r\,t^{r-1},
y''=r(r-1)\,t^{r-2}.

Passo 3

Substituímos y, y' e y'' na equação original:
t^{2}\bigl[r(r-1)\,t^{r-2}\bigr]-4t\bigl[r\,t^{r-1}\bigr]+4\,t^{r}=0.
Isso se simplifica para
r(r-1)\,t^{r}-4r\,t^{r}+4\,t^{r}=0
e, como t^{r}\neq0 para t>0, obtemos a equação característica
r(r-1)-4r+4=0.

Passo 4

Desenvolvendo a característica:
r^{2}-r-4r+4=r^{2}-5r+4=0.
Resolvendo a equação quadrática
r^{2}-5r+4=0
pelas fórmulas conhecidas, temos
r=\frac{5\pm\sqrt{(-5)^{2}-4\cdot1\cdot4}}{2} =\frac{5\pm\sqrt{25-16}}{2} =\frac{5\pm3}{2}.

Passo 5

Os dois valores de r são
r=\frac{5+3}{2}=4 \quad\text{e}\quad r=\frac{5-3}{2}=1.

Resposta

Os valores de r são r=1 e r=4.

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