Determine os valores de
para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma
para
.
Passo 1
Temos a equação diferencial
que é uma equação de Cauchy–Euler (ou equidimensional). Nessa equação, buscamos soluções do tipo
com
. Vamos substituir essa forma e encontrar os valores de
.
Passo 2
Assumindo
, calculamos as derivadas necessárias:
Passo 3
Substituímos
,
e
na equação original:
Isso se simplifica para
e, como
para
, obtemos a equação característica
Passo 4
Desenvolvendo a característica:
Resolvendo a equação quadrática
pelas fórmulas conhecidas, temos
Passo 5
Os dois valores de
são
Resposta
Os valores de
são
e
.