1. (2,0 pontos) Calcule, usando produto misto, o volume do cubo determinado pelos vetores vec{u}=(1,1,1), \vec{v}=(0,1,1) e vec{w}=(0,0,1).
  2. (2,0 pontos) Determine:
    (a) As equações reduzidas na variável z da reta r que passa por A(2,3,4) e tem direção vec{v}=(5,-1,1).

Passo 1

O exercício tem duas partes. Na parte (1) queremos calcular o volume do paralelepípedo (chamado no enunciado de “cubo”) gerado pelos vetores \vec{u}=(1,1,1), \vec{v}=(0,1,1) e \vec{w}=(0,0,1). O método a usar é o produto misto, isto é, \bigl|\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\bigr|. Na parte (2a) queremos achar as equações reduzidas na variável z da reta r que passa por A(2,3,4) e tem direção \vec{v}=(5,-1,1). Vamos usar a parametrização da reta e depois eliminar o parâmetro em favor de z.

Passo 2

Calculamos primeiro o produto vetorial \vec{v}\times\vec{w}.
\vec{v}\times\vec{w} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} =\mathbf{i}(1\cdot1-1\cdot0)-\mathbf{j}(0\cdot1-1\cdot0)+\mathbf{k}(0\cdot0-1\cdot0) =(1,0,0).

Passo 3

Agora fazemos o produto escalar de \vec{u} com esse resultado:
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=(1,1,1)\cdot(1,0,0)=1.
Logo o volume é
\bigl|\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\bigr|=|1|=1.

Passo 4

Para a reta r, escrevemos primeiro a forma simétrica (ou reduzida em função de t):
\frac{x-2}{5}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-4}{1}=t.
Daí
x=2+5t,\quad y=3-t,\quad z=4+t.

Passo 5

Eliminando t em favor de z, temos t=z-4. Substituindo em x e y:
x=2+5(z-4)=5z-18, \quad y=3-(z-4)=7-z.
Assim as equações reduzidas na variável z são
x=5z-18, \quad y=7-z.

Resposta

  1. O volume é 1.
    2a) As equações reduzidas na variável z da reta são
x=5z-18, \quad y=7-z.

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