Resolva as seguintes EDO’s de Primeira Ordem usando o Método de Separação de Variáveis.
y^{\prime}=\frac{y}{x}.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
y' = \frac{y}{x},
e pede para resolver pelo método de separação de variáveis. Para isso, vamos usar a ideia de isolar todos os termos que envolvem y de um lado e todos os que envolvem x do outro.

Passo 2

Escrevemos a derivada como \frac{dy}{dx} e separamos variáveis:
\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{y}\,dy = \frac{1}{x}\,dx.

Passo 3

Integrando ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int \frac{1}{x}\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl\lvert y\bigr\rvert = \ln\bigl\lvert x\bigr\rvert + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Exponentiando para eliminar o logaritmo, obtemos
\bigl\lvert y\bigr\rvert = e^{\ln\lvert x\rvert + C} = e^{\ln\lvert x\rvert}\,e^{C} = \lvert x\rvert\,K,
onde definimos K = e^{C}. Como K pode ser qualquer número real não nulo (absorvendo o sinal de \lvert x\rvert), escrevemos a solução geral como
y = C\,x,
em que C é uma constante real arbitrária.

Resposta

A solução geral da EDO é
y(x) = C\,x,
com C\in\mathbb{R}.

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