Resolva as seguintes EDO’s de Primeira Ordem usando o Método de Separação de Variáveis.
y^{\prime}=x y.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' = x\,y
usando o método de separação de variáveis. Vamos lembrar que, em problemas separáveis, a ideia é escrever a equação na forma
\frac{dy}{dx} = g(x)\,h(y)
e depois separar os termos em y de um lado e os de x do outro.

Passo 2

Escrevemos
\frac{dy}{dx} = x\,y
e separamos as variáveis, colocando todos os fatores que envolvem y no lado esquerdo e os de x no lado direito:
\frac{1}{y}\,dy = x\,dx.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int x\,dx.
O lado esquerdo dá
\ln\bigl|y\bigr|
e o direito
\frac{x^2}{2} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Para isolar y, aplicamos exponencial em ambos os lados:
\ln\bigl|y\bigr| = \frac{x^2}{2} + C \quad\Longrightarrow\quad \bigl|y\bigr| = e^{\frac{x^2}{2} + C} = e^{C}\,e^{\frac{x^2}{2}}.
Definindo C_1 = \pm e^{C}, obtemos a solução geral
y = C_1\,e^{\frac{x^2}{2}}.

Resposta

A solução geral da EDO é
y = C\,e^{\frac{x^2}{2}},
onde C é uma constante real arbitrária.

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