Determine os valores de K para os quais as equações tem razões reais e iguais.
(K-1) x^2+2 x+(K+1)=0

Passo 1

Temos a equação quadrática (K-1)x^2 + 2x + (K+1) = 0. O conteúdo é encontrar os valores de K para que as raízes sejam reais e iguais, ou seja, discriminante nulo, e precisamos usar a fórmula do discriminante.

Passo 2

Para que as raízes sejam reais e iguais, precisamos que o discriminante De seja zero e que o coeficiente quadrático a = K - 1 seja diferente de zero. Escrevendo De:
De

Passo 3

Expandindo e simplificando o discriminante temos:
De
Começamos impondo De, o que dá
$$2 - K^2 = 0 \quad\Rightarrow\quad K^2 = 2 \quad\Rightarrow\quad K = \pm\sqrt{2}.
$$

Passo 4

Agora verificamos a condição K-1 neq 0. Para K = pmraiz2 temos pmraiz2 - 1 neq 0, então a equação permanece quadrática e admite de fato uma raiz real dupla.

Resposta

K = pmraiz2

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