Determine os valores exatos de operatorname{sen} e cos para o ângulo dado (em radiano).
\frac{4 \pi}{3}

Passo 1

O enunciado pede os valores exatos de \operatorname{sen} e de \cos para o ângulo \tfrac{4\pi}{3}. O conteúdo aqui é o círculo trigonométrico: identificação do quadrante e do ângulo de referência, seguido de uso dos valores básicos em \pi/3.

Passo 2

Localizamos \tfrac{4\pi}{3} no círculo:
\pi = \tfrac{3\pi}{3} < \tfrac{4\pi}{3} < \tfrac{3\pi}{2} = \tfrac{4,5\pi}{3},
logo \tfrac{4\pi}{3} está no terceiro quadrante. O ângulo de referência \alpha é
\alpha = \tfrac{4\pi}{3} - \pi = \tfrac{4\pi}{3} - \tfrac{3\pi}{3} = \tfrac{\pi}{3}.

Passo 3

Nosso ângulo de referência é \tfrac{\pi}{3}. Sabemos que
\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\frac{\sqrt3}{2}, \qquad \cos\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\frac12.

Passo 4

No terceiro quadrante tanto seno quanto cosseno são negativos. Portanto, para \tfrac{4\pi}{3} teremos
\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{4\pi}{3}\bigr)=-\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=-\frac{\sqrt3}{2}, \qquad \cos\bigl(\tfrac{4\pi}{3}\bigr)=-\cos\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=-\frac12.

Resposta

\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{4\pi}{3}\bigr)=-\frac{\sqrt3}{2}, \qquad \cos\bigl(\tfrac{4\pi}{3}\bigr)=-\frac12.

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