Determine os valores extremos de
no disco
Passo 1
O enunciado pede para achar os valores extremos da função
no disco compacto definido por
O conteúdo aqui é otimização de funções de duas variáveis em regiões compactas: a gente vai procurar pontos críticos no interior do disco (onde
) e depois maximizar/minimizar na fronteira
, usando multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
No interior do disco, precisamos resolver
Isso dá o sistema
cuja única solução é
Em
temos
Passo 3
Agora vamos à fronteira, onde vale a restrição
Pelas condições de Lagrange, existe
tal que
ou seja
Passo 4
Desse vetor temos duas equações:
Isso implica ou
ou
, e ou
ou
. Os casos não-triviais na fronteira
são:
-
. Então , logo . Em cada ponto
-
. Então , logo . Em cada ponto
Passo 5
Comparando todos os valores obtidos:
– No interior temos .
– Na fronteira temos valores em
e
em
.
Logo o mínimo global é em
e o máximo global é
nos pontos
e
.
– No interior temos
– Na fronteira temos valores
Logo o mínimo global é
Resposta
O valor mínimo é
em
.
O valor máximo é em
e
.
O valor máximo é