Determine os valores extremos de
f(x, y)=x^2+2 y^2
no disco
x^2+y^2 <= 1

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores extremos da função
f(x,y)=x^2+2y^2
no disco compacto definido por
x^2+y^2<= 1
O conteúdo aqui é otimização de funções de duas variáveis em regiões compactas: a gente vai procurar pontos críticos no interior do disco (onde nabla f=0) e depois maximizar/minimizar na fronteira x^2+y^2=1, usando multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

No interior do disco, precisamos resolver
nabla f(x,y)=(2x,,4y)=(0,0)
Isso dá o sistema
2x=0, 4y=0
cuja única solução é
(x,y)=(0,0)
Em (0,0) temos
f(0,0)=0

Passo 3

Agora vamos à fronteira, onde vale a restrição
g(x,y)=x^2+y^2-1=0
Pelas condições de Lagrange, existe lambda tal que
nabla f(x,y)=lambda,nabla g(x,y),
ou seja
(2x,,4y)=lambda,(2x,,2y)

Passo 4

Desse vetor temos duas equações:
2x=2lambda x, 4y=2lambda y
Isso implica ou x=0 ou lambda=1, e ou y=0 ou lambda=2. Os casos não-triviais na fronteira x^2+y^2=1 são:
  1. x=0. Então y^2=1, logo y=pm1. Em cada ponto
f(0,pm1)=0^2+2cdot1=2
  1. y=0. Então x^2=1, logo x=pm1. Em cada ponto
f(pm1,0)=1+2cdot0=1

Passo 5

Comparando todos os valores obtidos:
– No interior temos f(0,0)=0.
– Na fronteira temos valores 1 em (pm1,0) e 2 em (0,pm1).
Logo o mínimo global é 0 em (0,0) e o máximo global é 2 nos pontos (0,1) e (0,-1).

Resposta

O valor mínimo é 0 em (0,0).
O valor máximo é 2 em (0,1) e (0,-1).

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