(a) (2,0 Pontos) Determine a solução do problema de valor inicial em forma explícita
d yd x & =-x e^xy y(0) & =1
(b) (2,0 Pontos) Utilize o teorema de existência e unicidade para mostrar que esta solução é única.

Passo 1

O enunciado pede que, no item (a), a gente resolva o problema de valor inicial
dydx=-x e^xy, y(0)=1,
usando métodos de EDO. No item (b) devemos aplicar o teorema de existência e unicidade (Picard-Lindelöf) para mostrar que a solução que encontramos é única numa vizinhança de (0,1).

Passo 2

Esse é um caso de equação diferencial separável. Podemos escrever
y,dy = -x e^x,dx
Integramos dos dois lados:
integral y,dy = -integral x e^x,dx
À esquerda vem
12y^2,
e à direita usamos a primitiva de x e^x, que é x e^x - e^x. Logo
12y^2 = -l(x e^x - e^xr) + C = -x e^x + e^x + C

Passo 3

Para determinar C, usamos y(0)=1. Substituindo x=0 e y=1 em
12cdot 1^2 = -0cdot e^0 + e^0 + C Longrightarrow 12 = 1 + C Longrightarrow C = -tfrac12
Assim
12y^2 = -x e^x + e^x - tfrac12 Longrightarrow y^2 = 2e^x(1 - x) - 1

Passo 4

Despejando y e observando que y(0)=1>0 nos força a escolher o sinal positivo:
y(x) = raiz,2e^x(1 - x) - 1,
Essa é a solução explícita do item (a), válida enquanto o radicando for não-negativo.

Passo 5

Para mostrar unicidade (item b), note que a função
f(x,y) = -x e^xy
e sua derivada parcial em y,
partial fpartial y(x,y) = x e^xy^2,
são contínuas em qualquer região que não inclua y=0. Em particular, existe um retângulo em torno de (0,1) onde yneq0. Pelo Teorema de Picard-Lindelöf, existe uma única solução local passando por (0,1). Como encontramos explicitamente essa solução, concluímos que ela é única.

Resposta

(a) y(x)=raiz2e^x(1 - x)-1
(b) Como f(x,y)= -tfracx e^xy e partial f/partial y=tfracx e^xy^2 são contínuas num retângulo contendo (0,1) com yneq0, o Teorema de Picard-Lindelöf garante existência e unicidade da solução.

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