(a) (2,0 Pontos) Determine a solução do problema de valor inicial em forma explícita
(b) (2,0 Pontos) Utilize o teorema de existência e unicidade para mostrar que esta solução é única.
Passo 1
O enunciado pede que, no item (a), a gente resolva o problema de valor inicial
usando métodos de EDO. No item (b) devemos aplicar o teorema de existência e unicidade (Picard-Lindelöf) para mostrar que a solução que encontramos é única numa vizinhança de
.
Passo 2
Esse é um caso de equação diferencial separável. Podemos escrever
Integramos dos dois lados:
À esquerda vem
e à direita usamos a primitiva de
, que é
. Logo
Passo 3
Para determinar
, usamos
. Substituindo
e
em
Assim
Passo 4
Despejando
e observando que
nos força a escolher o sinal positivo:
Essa é a solução explícita do item (a), válida enquanto o radicando for não-negativo.
Passo 5
Para mostrar unicidade (item b), note que a função
e sua derivada parcial em
,
são contínuas em qualquer região que não inclua
. Em particular, existe um retângulo em torno de
onde
. Pelo Teorema de Picard-Lindelöf, existe uma única solução local passando por
. Como encontramos explicitamente essa solução, concluímos que ela é única.
Resposta
(a)
(b) Como e
são contínuas num retângulo contendo
com
, o Teorema de Picard-Lindelöf garante existência e unicidade da solução.
(b) Como