Encontre os valores máximos e mínimos da função
f(x, y)=3 x+4 y
na circunferência
x^2+y^2=1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos de
f(x,y)=3x+4y
sujeito à restrição
x^2+y^2=1
Este é um problema clássico de extremos condicionados em que podemos usar o método dos multiplicadores de Lagrange. Vamos precisar das condições
nabla f = lambda ,nabla g,
onde g(x,y)=x^2+y^2-1.

Passo 2

Calculemos os gradientes:
nabla f = l(partialx f,partialy fr) = (3,4),
nabla g = l(partialx g,partialy gr) = (2x,2y)
A condição de Lagrange nabla f=lambda,nabla g gera o sistema
3 = lambda,2x, 4 = lambda,2y, x^2+y^2=1

Passo 3

Das duas primeiras equações isolamos x e y:
x = 32lambda, y = 42lambda
Substituindo na restrição x^2+y^2=1
l(32lambdar)^2 + l(42lambdar)^2 =1 ;Longrightarrow; 9+164lambda^2=1 ;Longrightarrow; lambda^2 = 254 ;Longrightarrow; lambda = pm 52

Passo 4

Para lambda=tfrac52:
x=32cdot(5/2)=35, y=42cdot(5/2)=45,
fl(tfrac35,tfrac45r) =3cdot35+4cdot45 =9+165=5
Para lambda=-tfrac52:
x=-35, y=-45,
fl(-tfrac35,-tfrac45r) =3cdotl(-tfrac35r)+4cdotl(-tfrac45r) =-9-165=-5

Resposta

Máximo de f vale 5 em l(tfrac35,tfrac45r).
Mínimo de f vale -5 em l(-tfrac35,-tfrac45r).

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