Questão 2. (Separáveis) Resolva as EDOs ou PVIs abaixo:
y^prime+e^t+y=0

Passo 1

O enunciado dá a EDO de primeira ordem
y' + e^t+y = 0
e pede para resolvê-la. É uma equação de variáveis separáveis, pois podemos escrever a derivada em função de t e y de modo que todos os y fiquem de um lado e todos os t do outro. Vamos usar essa estratégia.

Passo 2

Reescrevendo em forma de derivada e separando fatores, temos
dydt = -,e^t+y = -,e^t,e^y
Agora separamos variáveis: colocamos os termos em y de um lado e os termos em t do outro, obtendo
dye^y = -,e^t,dt

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação às suas variáveis:
integral e^-y,dy ;=; -integral e^t,dt
O lado esquerdo dá -e^-y e o direito dá -e^t mais constante de integração C. Logo
-,e^-y = -,e^t + C

Passo 4

Isolamos e^-y. Multiplicando por -1, obtemos
e^-y = e^t - C
Como C é um valor arbitrário, podemos trocar o sinal e chamar de constante K, ficando
e^-y = e^t + K

Passo 5

Por fim, tiramos o logaritmo para isolar y:
-,y = lnl(e^t + Kr) Longrightarrow y = -lnl(e^t + Kr)

Resposta

A solução geral da EDO é
boxedy(t) = -lnl(e^t + Cr),
onde C é constante de integração tal que e^t+C>0.

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