Determine os valores extremos de f(x, y)=x^2 y no conjunto
D=(x, y) in R^2 ; x^2+2 y^2=16

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos de
f(x,y)=x^2y
sujeito à restrição
x^2+2y^2=16
Isto é um problema de otimização com restrição, resolvido pelo método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Definimos
g(x,y)=x^2+2y^2-16
e montamos as condições
nabla f = lambda,nabla g, g(x,y)=0
Calculamos
partial fpartial x=2xy, partial fpartial y=x^2,
partial gpartial x=2x, partial gpartial y=4y
Logo as equações de Lagrange são
2xy = lambda,2x, x^2 = lambda,4y, x^2+2y^2=16

Passo 3

Da primeira equação 2xy=2lambda x obtemos ou
  1. x=0, ou
  2. y=lambda.
No caso x=0, a restrição dá
2y^2=16;Longrightarrow;y=pm2raiz2,
e
f(0,y)=0

Passo 4

No caso xneq0 usamos y=lambda. Substituindo na segunda equação
x^2=4lambda y=4y^2 ;Longrightarrow; x^2=4y^2 ;Longrightarrow; x=pm2y
Na restrição vem
(2y)^2+2y^2=6y^2=16 ;Longrightarrow; y=pm2raiztfrac23,
e portanto
x=pm2y
gera quatro pontos críticos
l(pm4raiztfrac23,,pm2raiztfrac23r)

Passo 5

Em cada um desses pontos temos
x^2=323, f(x,y)=x^2y=323,y
Para y=2raiztfrac23
fmax =323cdot2raiztfrac23 =64raiz69,
e para y=-2raiztfrac23
fmin =-64raiz69
Note que os pontos com x=0 dão valor zero, intermediário entre mínimo e máximo.

Resposta

O valor máximo de f em D é 64raiz69 e o valor mínimo é -64raiz69.

Exercícios relacionados