Faça um esboço do gráfico das funções analisando assíntotas, crescimento/decrescimento, máximos/mínimos, concavidade e pontos de inflexão:
.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a curva de
em termos de domínio, assíntotas, crescimento/decrescimento, máximos/mínimos, concavidade e pontos de inflexão, e por fim esboçar o gráfico. O conteúdo usado será cálculo de derivadas e estudo de sinais.
Passo 2
Domínio e assíntotas.
O domínio é todo o eixo real, isto é, .
Como
O domínio é todo o eixo real, isto é,
Como
temos uma assíntota horizontal em
. Não há assíntotas verticais.
Passo 3
Crescimento e decrescimento.
Calculamos a derivada primeira:
Calculamos a derivada primeira:
O sinal de
é o sinal de
:
- Para
, , logo (função cresce). - Para
, , logo (função decresce).
Passo 4
Máximos e mínimos.
O único ponto crítico é . Como a função cresce para
e decresce para
, em
temos um máximo global:
O único ponto crítico é
Não há mínimos locais além do fato de que
quando
.
Passo 5
Concavidade.
Calculamos a derivada segunda:
Calculamos a derivada segunda:
O sinal de
vem de
:
- Se
, então , logo (concava para baixo). - Se
, então , logo (concava para cima).
Passo 6
Pontos de inflexão.
São as soluções de , ou seja,
São as soluções de
Nesses pontos
Passo 7
Esboço do gráfico.
O gráfico é um “sino” simétrico em torno de , atinge o máximo
em
, decai para
nas pontas, é côncavo para baixo até
e depois côncavo para cima; o eixo
é assíntota horizontal.
O gráfico é um “sino” simétrico em torno de
Resposta
Um esboço aproximado em texto (eixo vertical
, eixo horizontal
):
y
|
\(1,0\)| /\
| / \
\(0,6\) | *---/----\---*
| / \
\(0,0\) |----*--------*-----> x
-\(0,7\)0,7
Os “*” em
indicam os pontos de inflexão, e o vértice em
é o máximo global.