Faça um esboço do gráfico das funções analisando assíntotas, crescimento/decrescimento, máximos/mínimos, concavidade e pontos de inflexão:
f(x)=e^-x^2.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a curva de f(x)=e^-x^2 em termos de domínio, assíntotas, crescimento/decrescimento, máximos/mínimos, concavidade e pontos de inflexão, e por fim esboçar o gráfico. O conteúdo usado será cálculo de derivadas e estudo de sinais.

Passo 2

Domínio e assíntotas.
O domínio é todo o eixo real, isto é, R.
Como
limxtopminftye^-x^2=0,
temos uma assíntota horizontal em y=0. Não há assíntotas verticais.

Passo 3

Crescimento e decrescimento.
Calculamos a derivada primeira:
f'(x) = ddxe^-x^2 = -2x,e^-x^2
O sinal de f'(x) é o sinal de -2x:
  • Para x<0, -2x>0, logo f'(x)>0 (função cresce).
  • Para x>0, -2x<0, logo f'(x)<0 (função decresce).

Passo 4

Máximos e mínimos.
O único ponto crítico é x=0. Como a função cresce para x<0 e decresce para x>0, em x=0 temos um máximo global:
f(0)=e^0=1
Não há mínimos locais além do fato de que f(x)to0 quando |x|toinfty.

Passo 5

Concavidade.
Calculamos a derivada segunda:
f''(x) =ddxl(-2x,e^-x^2r) =(4x^2-2),e^-x^2
O sinal de f''(x) vem de 4x^2-2:
  • Se |x|<tfrac1raiz2, então 4x^2-2<0, logo f''(x)<0 (concava para baixo).
  • Se |x|>tfrac1raiz2, então 4x^2-2>0, logo f''(x)>0 (concava para cima).

Passo 6

Pontos de inflexão.
São as soluções de f''(x)=0, ou seja,
4x^2-2=0 ;Longrightarrow; x=pm1raiz2
Nesses pontos
fl(pmtfrac1raiz2r) =e^-tfrac12approx0,607

Passo 7

Esboço do gráfico.
O gráfico é um “sino” simétrico em torno de x=0, atinge o máximo 1 em x=0, decai para 0 nas pontas, é côncavo para baixo até pm1/raiz2 e depois côncavo para cima; o eixo y=0 é assíntota horizontal.

Resposta

Um esboço aproximado em texto (eixo vertical , eixo horizontal ):
    y
    |
 \(1,0\)|        /\        
    |       /  \       
\(0,6\) |  *---/----\---*  
    |     /      \     
\(0,0\) |----*--------*-----> x
       -\(0,7\)0,7
Os “*” em indicam os pontos de inflexão, e o vértice em é o máximo global.

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