3^circ ) Calcule os seguintes limites:
lim x infty 3 x^2+5 x-1raizx^4+2 x^2+1

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxtoinfty3x^2+5x-1raizx^4+2x^2+1
O conteúdo aqui é de limites no infinito de funções racionais e radicais. Vamos usar a técnica de fatorar as potências mais altas de x no numerador e dentro da raiz, para eliminar a indeterminação do tipo infty/infty.

Passo 2

Primeiro, note que no numerador o maior grau é x^2 e, dentro da raiz do denominador, o termo dominante é x^4. Fatoramos esses termos:
3x^2+5x-1 = x^2l(3 + tfrac5x - tfrac1x^2r),
raizx^4+2x^2+1 = raizx^4l(1 + tfrac2x^2 + tfrac1x^4r) = x^2,raiz1 + tfrac2x^2 + tfrac1x^4,
onde usamos que, para xto+infty, raizx^4=x^2.

Passo 3

Substituindo na expressão do limite, obtemos
3x^2+5x-1raizx^4+2x^2+1 = x^2l(3 + tfrac5x - tfrac1x^2r)x^2,raiz1 + tfrac2x^2 + tfrac1x^4 = 3 + tfrac5x - tfrac1x^2raiz1 + tfrac2x^2 + tfrac1x^4
Agora, ao fazermos xtoinfty, os termos tfrac5x, tfrac1x^2 e tfrac2x^2, tfrac1x^4 tendem a zero. Logo, o numerador tende a 3 e o denominador tende a raiz1=1.

Resposta

limxtoinfty3x^2+5x-1raizx^4+2x^2+1 = 3

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