Determine os valores extremos de f sujeita a restrições.
f(x, y, z)=3 x-y-3 z ; \quad x+y-z=0

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Função a otimizar: f(x,y,z)=3x-y-3z.
  • Restrição (condição): x+y-z=0.
  • Pergunta: determinar os valores extremos (máximo e mínimo) de f sujeitos à restrição dada, isto é, encontrar se existe máximo ou mínimo de f no conjunto \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x+y-z=0\} e quais são esses valores e pontos, caso existam.

Passo 2

Opções de abordagem e escolha do método.
  • Uma abordagem simples é usar a própria restrição para eliminar uma variável (substituição) e reduzir o problema a duas variáveis ou menos.
  • Outra abordagem é usar multiplicadores de Lagrange: resolver \nabla f=\lambda\nabla g com g(x,y,z)=x+y-z.
  • Vou começar pela substituição (mais direta aqui) e depois mostrar a verificação pela condição de Lagrange para ficar bem claro.

Passo 3

Usando a restrição para eliminar \,z.
A restrição é
x+y-z=0,
logo
z=x+y.
Substituindo isso em f:
f(x,y,z)=3x-y-3z \quad\Rightarrow\quad f(x,y,x+y)=3x-y-3(x+y).
Agora desenvolvendo:
3x-y-3(x+y)=3x-y-3x-3y.
Somando termos semelhantes:
3x-3x=0\quad\text{e}\quad -y-3y=-4y,
portanto, sobre a restrição:
f(x,y,z)= -4y.

Passo 4

Interpretação do resultado f=-4y e conclusão por argumentação direta.
  • A expressão f=-4y mostra que, quando a restrição é satisfeita ( z=x+y), o valor de f depende só de y; a variável x não aparece mais, ou seja, x é livre (pode ser qualquer real) desde que se escolha z compatível.
  • O conjunto de pontos viáveis contém, por exemplo, todos os pontos (0,y,y) para y\in\mathbb{R} (basta tomar x=0 e z=y para satisfazer z=x+y).
  • Se tomarmos y=t e x=0 então f(0,t,t)=-4t. Fazendo t\to+\infty obtemos f\to-\infty e fazendo t\to-\infty obtemos f\to+\infty.
  • Portanto f não é limitada superior nem inferior quando restrita ao plano x+y-z=0: pode ficar arbitrariamente grande e arbitrariamente pequena.
Conclusão: não há máximo nem mínimo global.

Passo 5

Verificação alternativa pelo método dos multiplicadores de Lagrange (para entender por que não existem pontos críticos).
  • Defina g(x,y,z)=x+y-z. As derivadas parciais são
\nabla f=(3,\,-1,\,-3),\qquad \nabla g=(1,\,1,\,-1).
  • As equações de Lagrange pedem
\nabla f=\lambda\nabla g,
isto é o sistema
3=\lambda,\qquad -1=\lambda,\qquad -3=-\lambda.
  • Essas três equações são incompatíveis porque a primeira exige \lambda=3 e a segunda exige \lambda=-1; não existe \lambda que satisfaça ambas. Assim, não existe ponto em que os gradientes sejam colineares, ou seja, não há ponto crítico de Lagrange — o que é consistente com o fato de a função ser não limitada na restrição.

Passo 6

Resumo didático e intuição geométrica.
  • Geometricamente: o conjunto de restrição é um plano infinito em \mathbb{R}^3. A função f é linear, cujo nível f= constante são planos paralelos. A interseção de dois planos paralelos com um plano infinito é, em geral, uma reta ou nada; como o conjunto viável é não compacto (infinito e aberto), uma função linear sobre ele só teria extremos se fosse constante naquela restrição. Aqui não é constante (visto que f=-4y varia com y), logo nenhum extremo existe.
  • Exemplo concreto para ganhar intuição: pontos (0, t, t) dão f=-4t. Fazendo t\to+\infty ou t\to-\infty obtém-se valores de f arbitrariamente negativos e positivos, respectivamente.

Resposta

Não existe máximo nem mínimo; f é não limitada superior e inferiormente no conjunto x+y-z=0.

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