Determine os valores extremos de
sujeita a restrições.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
- Função a otimizar:
. - Restrição (condição):
. - Pergunta: determinar os valores extremos (máximo e mínimo) de
sujeitos à restrição dada, isto é, encontrar se existe máximo ou mínimo de no conjunto e quais são esses valores e pontos, caso existam.
Passo 2
Opções de abordagem e escolha do método.
- Uma abordagem simples é usar a própria restrição para eliminar uma variável (substituição) e reduzir o problema a duas variáveis ou menos.
- Outra abordagem é usar multiplicadores de Lagrange: resolver
com . - Vou começar pela substituição (mais direta aqui) e depois mostrar a verificação pela condição de Lagrange para ficar bem claro.
Passo 3
Usando a restrição para eliminar
.
A restrição é
logo
Substituindo isso em
:
Agora desenvolvendo:
Somando termos semelhantes:
portanto, sobre a restrição:
Passo 4
Interpretação do resultado
e conclusão por argumentação direta.
- A expressão
mostra que, quando a restrição é satisfeita ( ), o valor de depende só de ; a variável não aparece mais, ou seja, é livre (pode ser qualquer real) desde que se escolha compatível. - O conjunto de pontos viáveis contém, por exemplo, todos os pontos
para (basta tomar e para satisfazer ). - Se tomarmos
e então . Fazendo obtemos e fazendo obtemos . - Portanto
não é limitada superior nem inferior quando restrita ao plano : pode ficar arbitrariamente grande e arbitrariamente pequena.
Conclusão: não há máximo nem mínimo global.
Passo 5
Verificação alternativa pelo método dos multiplicadores de Lagrange (para entender por que não existem pontos críticos).
- Defina
. As derivadas parciais são
- As equações de Lagrange pedem
isto é o sistema
- Essas três equações são incompatíveis porque a primeira exige
e a segunda exige ; não existe que satisfaça ambas. Assim, não existe ponto em que os gradientes sejam colineares, ou seja, não há ponto crítico de Lagrange — o que é consistente com o fato de a função ser não limitada na restrição.
Passo 6
Resumo didático e intuição geométrica.
- Geometricamente: o conjunto de restrição é um plano infinito em
. A função é linear, cujo nível constante são planos paralelos. A interseção de dois planos paralelos com um plano infinito é, em geral, uma reta ou nada; como o conjunto viável é não compacto (infinito e aberto), uma função linear sobre ele só teria extremos se fosse constante naquela restrição. Aqui não é constante (visto que varia com ), logo nenhum extremo existe. - Exemplo concreto para ganhar intuição: pontos
dão . Fazendo ou obtém-se valores de arbitrariamente negativos e positivos, respectivamente.
Resposta
Não existe máximo nem mínimo;
é não limitada superior e inferiormente no conjunto
.