Determine os valores extremos da função de
em
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os valores extremos (mínimo e máximo) de
no conjunto
O conteúdo utilizado será cálculo de extremos em regiões fechadas: buscamos pontos críticos no interior de
e depois extrema na fronteira usando multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Procuramos pontos críticos no interior de
resolvendo
. Calculamos
Igualando a zero,
implica
Esse ponto está no interior de
e vale
Passo 3
Para a fronteira
aplicamos o método dos multiplicadores de Lagrange. Definimos
e impomos
Isso dá o sistema
Passo 4
Das componentes do sistema:
-
⇒ ou . -
⇒ ou .
Analisando casos junto com:
- Se
, então ⇒ pontos , e
- Se
, então ⇒ pontos , e
Passo 5
Comparando os valores de
nos candidatos:
- Interior:
. - Fronteira:
, .
Logo, o valor mínimo global éem e o valor máximo global é em e .
Resposta
Mínimo de
em
:
, atingido em
.
Máximo de em
:
, atingido em
e
.
Máximo de