Determine os valores extremos da função de f(x, y)=x^{2}+2 y^{2} em A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores extremos (mínimo e máximo) de
f(x,y)=x^{2}+2y^{2}
no conjunto
A=\{(x,y)\in\mathbb R^2\mid x^{2}+y^{2}\le1\}.
O conteúdo utilizado será cálculo de extremos em regiões fechadas: buscamos pontos críticos no interior de A e depois extrema na fronteira usando multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Procuramos pontos críticos no interior de A resolvendo \nabla f(x,y)=0. Calculamos
\nabla f(x,y) = \bigl(2x,\;4y\bigr).
Igualando a zero,
2x=0,\quad 4y=0
implica
x=0,\quad y=0.
Esse ponto está no interior de A e vale
f(0,0)=0.

Passo 3

Para a fronteira \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}=1\} aplicamos o método dos multiplicadores de Lagrange. Definimos
g(x,y)=x^{2}+y^{2}-1=0
e impomos
\nabla f(x,y)=\lambda\,\nabla g(x,y).
Isso dá o sistema
(2x,\,4y)=\lambda\,(2x,\,2y).

Passo 4

Das componentes do sistema:
  1. 2x=2\lambda x x=0 ou \lambda=1.
  2. 4y=2\lambda y y=0 ou \lambda=2.
    Analisando casos junto com x^{2}+y^{2}=1:
  • Se x=0, então y^{2}=1 ⇒ pontos (0,1), (0,-1) e
f(0,\pm1)=0^{2}+2\cdot1^{2}=2.
  • Se y=0, então x^{2}=1 ⇒ pontos (1,0), (-1,0) e
f(\pm1,0)=1^{2}+2\cdot0^{2}=1.

Passo 5

Comparando os valores de f nos candidatos:
  • Interior: f(0,0)=0.
  • Fronteira: f(\pm1,0)=1, f(0,\pm1)=2.
    Logo, o valor mínimo global é 0 em (0,0) e o valor máximo global é 2 em (0,1) e (0,-1).

Resposta

Mínimo de f em A: 0, atingido em (0,0).
Máximo de f em A: 2, atingido em (0,1) e (0,-1).

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