Faça um esboço da curva dada pela função vetorial F(t).
F(t)=\left\langle\operatorname{sen}(t)^{2}, \cos (t)^{2}\right\rangle, t \in[0,2 \pi].

Passo 1

O enunciado define a curva paramétrica
F(t)=\bigl(\sin^2 t,\;\cos^2 t\bigr),\quad t\in[0,2\pi].
O conteúdo é identificação de uma curva implícita e análise do domínio para esboçar o lugar geométrico.

Passo 2

Definindo x=\sin^2 t e y=\cos^2 t, usamos a identidade trigonométrica
x + y = \sin^2 t + \cos^2 t = 1.
Portanto, todo ponto \bigl(x,y\bigr) da curva satisfaz a reta \,x+y=1.

Passo 3

Observamos que \sin^2 t e \cos^2 t variam entre 0 e 1. Logo
0 \le x \le 1,\quad 0 \le y \le 1,
e o lugar geométrico é o segmento de reta no primeiro quadrante que vai de (0,1) até (1,0).

Passo 4

Para a orientação, quando t vai de 0 a \pi/2, \sin^2 t cresce de 0 a 1 e \cos^2 t decresce de 1 a 0, movendo-se de (0,1) a (1,0). De \pi/2 a \pi ele retorna de (1,0) a (0,1), e o mesmo padrão se repete em [\pi,2\pi]. Assim o segmento é percorrido duas vezes (vai e volta).

Resposta

A curva é o segmento de reta no primeiro quadrante
x + y = 1,\quad 0 \le x \le 1,\quad 0 \le y \le 1,
percorrido duas vezes para t\in[0,2\pi].
Esboço (primeiro quadrante, setas indicam o sentido):
y
|\
| \
| \
| \
(0,1) ----→ (1,0) → x

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