Determine os valores extremos da função
f(x, y)=e^x y restrito a x^2+y-12 <= 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os valores máximos e mínimos da função quando ela está restrita pela condição . Isso envolve um pouco de cálculo multivariável, especificamente otimização com restrição. Para resolver, vamos precisar usar derivadas parciais e analisar tanto o interior quanto a fronteira da região definida pela restrição.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se existem pontos de extrema dentro da região onde fx = partial fpartial x = y e^xy . Para isso, calculamos as derivadas parciais da função fy = partial fpartial y = x e^xy em relação a e :

Passo 3

Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
fx = y e^xy = 0 e fy = x e^xy = 0
Sabemos que y = 0 e x = 0 nunca é zero, então:
x^2 + y = 0 + 0 = 0 <= 12 (verdadeiro)
Isso nos dá o ponto crítico . Vamos verificar se esse ponto está dentro da região restrita:
Então, é um ponto crítico dentro da região.

Passo 4

Agora, vamos analisar o que acontece na fronteira da região, onde f(x, y) = e^x(12 - x^2) = e^12x - x^3 ou seja, . Substituímos essa expressão na função :
Queremos encontrar os extremos dessa nova função de uma variável, . Para simplificar, vamos maximizar a expressão no expoente: .

Passo 5

Vamos encontrar os extremos de g'(x) = 12 - 3x^2 = 0 calculando sua derivada e igualando a zero:
3x^2 = 12 Rightarrow x^2 = 4 Rightarrow x = pm 2
Resolvendo para :
Agora, encontramos os valores de correspondentes:
  • Para :
  • Para :
Então, temos os pontos e .

Passo 6

Vamos calcular os valores da função nesses pontos e no ponto crítico interno:
  • Em :
  • Em :
  • Em :
Comparando os valores:
  • é um valor muito grande, então é o máximo.
  • é um valor muito pequeno, então é o mínimo.
  • O ponto tem um valor intermediário.

Resposta

Os valores extremos da função restrita a são:
  • Máximo absoluto em com .
  • Mínimo absoluto em com .

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