Determine os valores extremos da função
restrito a
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os valores máximos e mínimos da função
quando ela está restrita pela condição
. Isso envolve um pouco de cálculo multivariável, especificamente otimização com restrição. Para resolver, vamos precisar usar derivadas parciais e analisar tanto o interior quanto a fronteira da região definida pela restrição.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se existem pontos de extrema dentro da região onde
. Para isso, calculamos as derivadas parciais da função
em relação a
e
:
Passo 3
Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Sabemos que
nunca é zero, então:
Isso nos dá o ponto crítico
. Vamos verificar se esse ponto está dentro da região restrita:
Então,
é um ponto crítico dentro da região.
Passo 4
Agora, vamos analisar o que acontece na fronteira da região, onde
ou seja,
. Substituímos essa expressão na função
:
Queremos encontrar os extremos dessa nova função de uma variável,
. Para simplificar, vamos maximizar a expressão no expoente:
.
Passo 5
Vamos encontrar os extremos de
calculando sua derivada e igualando a zero:
Resolvendo para
:
Agora, encontramos os valores de
correspondentes:
- Para
: - Para
:
Então, temos os pontos
e
.
Passo 6
Vamos calcular os valores da função
nesses pontos e no ponto crítico interno:
- Em
: - Em
: - Em
:
Comparando os valores:
-
é um valor muito grande, então é o máximo. -
é um valor muito pequeno, então é o mínimo. - O ponto
tem um valor intermediário.
Resposta
Os valores extremos da função
restrita a
são:
- Máximo absoluto em
com . - Mínimo absoluto em
com .