Se
e
. Determine (a)
, (b)
, ©
, (d)
e (f)
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função escalar
e um campo vetorial
. O que a gente precisa fazer é calcular:
a) O gradiente de
,
.
b) A divergência de
,
.
c) O rotor de
,
.
d) A divergência de
,
.
e) O rotor de
,
.
f) O rotor do gradiente de
,
.
Vamos usar conceitos de cálculo vetorial como gradiente, divergência e rotor para resolver cada parte. Vamos lá!
Passo 2
a) Calculando o gradiente de
,
Primeiro, precisamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar como
é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função. Ele é dado pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável.
Então, temos:
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada parcial em relação a x:
- Derivada parcial em relação a y:
- Derivada parcial em relação a z:
Agora, juntando tudo:
Passo 3
b) Calculando a divergência de
,
A divergência de um campo vetorial como
é uma medida de quanto o campo está “espaçando” ou “convergindo” em um ponto. É dada pela soma das derivadas parciais das componentes:
Para o nosso campo
:
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada parcial de P em relação a x:
- Derivada parcial de Q em relação a y:
- Derivada parcial de R em relação a z:
Agora, somando tudo:
Passo 4
c) Calculando o rotor de
,
O rotor de um campo vetorial, também conhecido como curl, mede a tendência de rotação do campo em torno de um ponto. Podemos calcular usando a seguinte fórmula:
Para o nosso campo
:
Vamos calcular cada termo:
- Componente i:
- Componente j:
- Componente k:
Agora, juntando tudo:
Passo 5
d) Calculando a divergência de
,
Aqui, temos que multiplicar a função escalar
pelo campo vetorial
e depois calcular a divergência do resultado. Primeiro, vamos encontrar
:
Agora, vamos chamar as componentes resultantes de
,
,
:
A divergência de
será:
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada parcial de
em relação a x:
- Derivada parcial de
em relação a y:
- Derivada parcial de
em relação a z:
Agora, somando tudo:
Passo 6
e) Calculando o rotor de
,
Vamos calcular o rotor de
. Já temos
:
Vamos chamar as componentes de
,
,
:
A fórmula para o rotor é:
Vamos calcular cada termo:
- Componente i:
- Componente j:
- Componente k:
Agora, juntando tudo:
Passo 7
f) Calculando o rotor do gradiente de
,
Sabemos que o gradiente de uma função escalar
é um campo vetorial, que já calculamos na parte (a):
Agora, vamos calcular o rotor desse gradiente. Mas aí vem uma propriedade importante do cálculo vetorial: O rotor do gradiente de qualquer função escalar é sempre o vetor nulo.
Matematicamente:
Isso acontece porque as derivadas mistas se cancelam, deixando todas as componentes iguais a zero.
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f)