Se varphi(x, y, z)=x^2 y z^3 e F=x z i-y^2 j+2 x^2 y k. Determine (a) nabla varphi, (b) div F, © rot F, (d) div(varphi F),(e) rot(varphi F) e (f) rot(nabla varphi).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função escalar varphi(x, y, z) = x^2 y z^3 e um campo vetorial F = x z i - y^2 j + 2 x^2 y k. O que a gente precisa fazer é calcular:
a) O gradiente de varphi, nabla varphi.
b) A divergência de F, div F.
c) O rotor de F, rot F.
d) A divergência de varphi F, div(varphi F).
e) O rotor de varphi F, rot(varphi F).
f) O rotor do gradiente de varphi, rot(nabla varphi).
Vamos usar conceitos de cálculo vetorial como gradiente, divergência e rotor para resolver cada parte. Vamos lá!

Passo 2

a) Calculando o gradiente de varphi, nabla varphi
Primeiro, precisamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar como varphi(x, y, z) é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função. Ele é dado pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável.
Então, temos:
nabla varphi = ( partial varphipartial x ) i + ( partial varphipartial y ) j + ( partial varphipartial z ) k
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a x:
partial varphipartial x = partialpartial x (x^2 y z^3) = 2x y z^3
  1. Derivada parcial em relação a y:
partial varphipartial y = partialpartial y (x^2 y z^3) = x^2 z^3
  1. Derivada parcial em relação a z:
partial varphipartial z = partialpartial z (x^2 y z^3) = 3x^2 y z^2
Agora, juntando tudo:
nabla varphi = 2x y z^3 i + x^2 z^3 j + 3x^2 y z^2 k

Passo 3

b) Calculando a divergência de F, div F
A divergência de um campo vetorial como F = P i + Q j + R k é uma medida de quanto o campo está “espaçando” ou “convergindo” em um ponto. É dada pela soma das derivadas parciais das componentes:
div F = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z
Para o nosso campo F:
P = x z Q = -y^2 R = 2 x^2 y
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial de P em relação a x:
partial Ppartial x = partialpartial x (x z) = z
  1. Derivada parcial de Q em relação a y:
partial Qpartial y = partialpartial y (-y^2) = -2y
  1. Derivada parcial de R em relação a z:
partial Rpartial z = partialpartial z (2 x^2 y) = 0
Agora, somando tudo:
div F = z - 2y + 0 = z - 2y

Passo 4

c) Calculando o rotor de F, rot F
O rotor de um campo vetorial, também conhecido como curl, mede a tendência de rotação do campo em torno de um ponto. Podemos calcular usando a seguinte fórmula:
rot F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z ) i + ( partial Ppartial z - partial Rpartial x ) j + ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) k
Para o nosso campo F:
P = x z Q = -y^2 R = 2 x^2 y
Vamos calcular cada termo:
  1. Componente i:
partial Rpartial y = partialpartial y (2 x^2 y) = 2 x^2 partial Qpartial z = partialpartial z (-y^2) = 0 Rightarrow partial Rpartial y - partial Qpartial z = 2 x^2 - 0 = 2 x^2
  1. Componente j:
partial Ppartial z = partialpartial z (x z) = x partial Rpartial x = partialpartial x (2 x^2 y) = 4 x y Rightarrow partial Ppartial z - partial Rpartial x = x - 4 x y
  1. Componente k:
partial Qpartial x = partialpartial x (-y^2) = 0 partial Ppartial y = partialpartial y (x z) = 0 Rightarrow partial Qpartial x - partial Ppartial y = 0 - 0 = 0
Agora, juntando tudo:
rot F = 2 x^2 i + (x - 4 x y) j + 0 k = 2 x^2 i + (x - 4 x y) j

Passo 5

d) Calculando a divergência de varphi F, div(varphi F)
Aqui, temos que multiplicar a função escalar varphi pelo campo vetorial F e depois calcular a divergência do resultado. Primeiro, vamos encontrar varphi F:
varphi F = varphi(x, y, z) cdot F = x^2 y z^3 (x z i - y^2 j + 2 x^2 y k) = x^3 y z^4 i - x^2 y^3 z^3 j + 2 x^4 y^2 z^3 k
Agora, vamos chamar as componentes resultantes de P', Q', R':
P' = x^3 y z^4 Q' = -x^2 y^3 z^3 R' = 2 x^4 y^2 z^3
A divergência de varphi F será:
div(varphi F) = partial P'partial x + partial Q'partial y + partial R'partial z
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial de P' em relação a x:
partial P'partial x = partialpartial x (x^3 y z^4) = 3 x^2 y z^4
  1. Derivada parcial de Q' em relação a y:
partial Q'partial y = partialpartial y (-x^2 y^3 z^3) = -3 x^2 y^2 z^3
  1. Derivada parcial de R' em relação a z:
partial R'partial z = partialpartial z (2 x^4 y^2 z^3) = 6 x^4 y^2 z^2
Agora, somando tudo:
div(varphi F) = 3 x^2 y z^4 - 3 x^2 y^2 z^3 + 6 x^4 y^2 z^2

Passo 6

e) Calculando o rotor de varphi F, rot(varphi F)
Vamos calcular o rotor de varphi F. Já temos varphi F:
varphi F = x^3 y z^4 i - x^2 y^3 z^3 j + 2 x^4 y^2 z^3 k
Vamos chamar as componentes de P', Q', R':
P' = x^3 y z^4 Q' = -x^2 y^3 z^3 R' = 2 x^4 y^2 z^3
A fórmula para o rotor é:
rot(varphi F) = ( partial R'partial y - partial Q'partial z ) i + ( partial P'partial z - partial R'partial x ) j + ( partial Q'partial x - partial P'partial y ) k
Vamos calcular cada termo:
  1. Componente i:
partial R'partial y = partialpartial y (2 x^4 y^2 z^3) = 4 x^4 y z^3 partial Q'partial z = partialpartial z (-x^2 y^3 z^3) = -3 x^2 y^3 z^2 Rightarrow partial R'partial y - partial Q'partial z = 4 x^4 y z^3 - (-3 x^2 y^3 z^2) = 4 x^4 y z^3 + 3 x^2 y^3 z^2
  1. Componente j:
partial P'partial z = partialpartial z (x^3 y z^4) = 4 x^3 y z^3 partial R'partial x = partialpartial x (2 x^4 y^2 z^3) = 8 x^3 y^2 z^3 Rightarrow partial P'partial z - partial R'partial x = 4 x^3 y z^3 - 8 x^3 y^2 z^3 = 4 x^3 y z^3 - 8 x^3 y^2 z^3
  1. Componente k:
partial Q'partial x = partialpartial x (-x^2 y^3 z^3) = -2 x y^3 z^3 partial P'partial y = partialpartial y (x^3 y z^4) = x^3 z^4 Rightarrow partial Q'partial x - partial P'partial y = -2 x y^3 z^3 - x^3 z^4
Agora, juntando tudo:
rot(varphi F) = (4 x^4 y z^3 + 3 x^2 y^3 z^2) i + (4 x^3 y z^3 - 8 x^3 y^2 z^3) j + (-2 x y^3 z^3 - x^3 z^4) k

Passo 7

f) Calculando o rotor do gradiente de varphi, rot(nabla varphi)
Sabemos que o gradiente de uma função escalar varphi é um campo vetorial, que já calculamos na parte (a):
nabla varphi = 2x y z^3 i + x^2 z^3 j + 3x^2 y z^2 k
Agora, vamos calcular o rotor desse gradiente. Mas aí vem uma propriedade importante do cálculo vetorial: O rotor do gradiente de qualquer função escalar é sempre o vetor nulo.
Matematicamente:
rot(nabla varphi) = 0
Isso acontece porque as derivadas mistas se cancelam, deixando todas as componentes iguais a zero.

Resposta

a) nabla varphi = 2x y z^3 i + x^2 z^3 j + 3x^2 y z^2 k
b) div F = z - 2y
c) rot F = 2 x^2 i + (x - 4 x y) j
d) div(varphi F) = 3 x^2 y z^4 - 3 x^2 y^2 z^3 + 6 x^4 y^2 z^2
e) rot(varphi F) = (4 x^4 y z^3 + 3 x^2 y^3 z^2) i + (4 x^3 y z^3 - 8 x^3 y^2 z^3) j + (-2 x y^3 z^3 - x^3 z^4) k
f) rot(nabla varphi) = 0

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