Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os alores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2 ; x-y=1, y^2-z^2=1.

Passo 1

Estamos lidando com otimização de uma função quadrática com duas restrições, então vamos usar multiplicadores de Lagrange. Precisaremos escrever o Lagrangiano, igualar gradientes e depois impor as duas restrições para achar os pontos críticos.

Passo 2

Definimos as funções de restrição
g1(x,y,z)=x-y-1=0,
g2(x,y,z)=y^2-z^2-1=0,
e o Lagrangiano
L(x,y,z,lambda,mu)=x^2+y^2+z^2-lambda(x-y-1)-mu(y^2-z^2-1)
As equações de primeira ordem são:
2x=lambda, 2y=-lambda+2mu y, 2z=-2mu z,
juntamente com
x-y=1, y^2-z^2=1

Passo 3

Da terceira equação 2z=-2mu z temos dois casos: ou zneq0 e então mu=-1, ou z=0. Se mu=-1, da segunda equação chegamos a x=-2y e da restrição x-y=1 obtém-se y=-1/3, o que dá z^2=1/9-1<0, impossível. Logo descartamos esse caso e ficamos com z=0.

Passo 4

Com z=0 a segunda restrição vira y^2=1 e logo y=pm1. Usando 2x=lambda e a segunda equação de Lagrange
y=-x+mu y
(já simplificada), obtemos
x=y(mu-1)
e impondo x-y=1 achamos
mu=2+1y

Passo 5

Para y=1 temos mu=3, daí x=2 e z=0. Para y=-1 temos mu=1, daí x=0 e z=0. Assim os pontos críticos são (2,1,0) e (0,-1,0).

Passo 6

Calculamos os valores de f: em (2,1,0) vem f=2^2+1^2+0^2=5; em (0,-1,0) vem f=0+1+0=1. Como a curva de interseção não é compacta, f não tem máximo finito (vai a +infty), mas tem mínimo absoluto igual a 1.

Passo 7

Portanto, o valor mínimo de f sob as restrições é 1, obtido no ponto (0,-1,0), e não existe valor máximo (fica sem limite superior).

Resposta

Mínimo de 1 em (0,–1,0); não há máximo (f → +∞).

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