Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os alores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
.
Passo 1
Estamos lidando com otimização de uma função quadrática com duas restrições, então vamos usar multiplicadores de Lagrange. Precisaremos escrever o Lagrangiano, igualar gradientes e depois impor as duas restrições para achar os pontos críticos.
Passo 2
Definimos as funções de restrição
e o Lagrangiano
As equações de primeira ordem são:
juntamente com
Passo 3
Da terceira equação
temos dois casos: ou
e então
, ou
. Se
, da segunda equação chegamos a
e da restrição
obtém-se
, o que dá
, impossível. Logo descartamos esse caso e ficamos com
.
Passo 4
Com
a segunda restrição vira
e logo
. Usando
e a segunda equação de Lagrange
(já simplificada), obtemos
e impondo
achamos
Passo 5
Para
temos
, daí
e
. Para
temos
, daí
e
. Assim os pontos críticos são
e
.
Passo 6
Calculamos os valores de
: em
vem
; em
vem
. Como a curva de interseção não é compacta,
não tem máximo finito (vai a
), mas tem mínimo absoluto igual a 1.
Passo 7
Portanto, o valor mínimo de
sob as restrições é 1, obtido no ponto
, e não existe valor máximo (fica sem limite superior).
Resposta
Mínimo de 1 em (0,–1,0); não há máximo (f → +∞).