Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os alores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
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Passo 1
A função que queremos otimizar é f(x,y,z)=x²–y z sujeita à restrição x²+y²+z²=1, usando multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Formamos o Lagrangiano e derivamos:
L(x,y,z,λ)=x²–y z–λ(x²+y²+z²–1).
As condições de ótimo são ∂L/∂x=0, ∂L/∂y=0, ∂L/∂z=0 e a restrição.
L(x,y,z,λ)=x²–y z–λ(x²+y²+z²–1).
As condições de ótimo são ∂L/∂x=0, ∂L/∂y=0, ∂L/∂z=0 e a restrição.
Passo 3
Calculamos as derivadas:
Da primeira vem x(1–λ)=0, e das outras z=–2λy e y=–2λz.
Passo 4
Caso 1: x=0.
Das relações em y e z temos ou y=0 ou λ=±½.
Se y=0⇒z²=1⇒z=±1 e f=0.
Se λ=±½⇒z=∓y e 2y²=1⇒y=±1/√2, z=∓y.
Isso gera quatro pontos com f=±½, em particular f=+½ em (0,±1/√2,∓1/√2) e f=–½ em (0,±1/√2,±1/√2).
Das relações em y e z temos ou y=0 ou λ=±½.
Se y=0⇒z²=1⇒z=±1 e f=0.
Se λ=±½⇒z=∓y e 2y²=1⇒y=±1/√2, z=∓y.
Isso gera quatro pontos com f=±½, em particular f=+½ em (0,±1/√2,∓1/√2) e f=–½ em (0,±1/√2,±1/√2).
Passo 5
Caso 2: λ=1⇒das equações segue y=0 e z=0, e da restrição x=±1.
Nesses pontos f=x²=1.
Nesses pontos f=x²=1.
Passo 6
Comparando todos os valores: os maiores valem 1 em (±1,0,0) e os menores valem –½ nos pontos (0,1/√2,1/√2) e (0,–1/√2,–1/√2).
Resposta
Valor máximo 1 em
. Valor mínimo –\tfrac{1}{2} em
e
.