Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os alores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2 ; x-y=1, y^2-z^2=1.

Passo 1

Nesse exercício, queremos usar multiplicadores de Lagrange para otimizar a função de três variáveis f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 sujeita às duas restrições x-y=1 e y^2-z^2=1. Vamos precisar da teoria de Lagrange para funções com duas restrições.

Passo 2

Primeiro, definimos as funções de restrição g1(x,y,z)=x-y-1 e g2(x,y,z)=y^2-z^2-1 e construímos o Lagrangeano L=f-lambda g1-mu g2. A condição de ótimo exige nabla f = lambdanabla g1 + munabla g2 junto com g1=0 e g2=0.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais e escrevemos o sistema de estacionariedade:
partial Lpartial x: 2x = lambda, partial Lpartial y: 2y = -lambda + 2mu y, partial Lpartial z: 2z = -2mu z,
e as restrições
x - y - 1 = 0, y^2 - z^2 - 1 = 0

Passo 4

Da terceira equação temos 2z = -2mu z, ou seja z(1+mu)=0. Isso gera dois casos: z=0 ou mu=-1. Vamos tratar cada caso.

Passo 5

Caso 1: z=0. As restrições viram x-y=1 e y^2=1, logo y=pm1 e x=y+1. Substituindo na equação de y obtemos mu. Para y=1 vem x=2,mu=3. Para y=-1 vem x=0,mu=1.

Passo 6

Caso 2: mu=-1. Da equação de x segue x=-2y, e a restrição x-y=1 y=-tfrac13, x=tfrac23. Mas y^2-z^2=1 leva a z^2=-tfrac89, sem solução real. Logo não há pontos reais nesse caso.

Passo 7

Ficamos com dois pontos críticos reais: (2,1,0) e (0,-1,0). Avaliando a função:
f(2,1,0)=4+1+0=5, f(0,-1,0)=0+1+0=1

Passo 8

Concluímos que o menor valor de f é 1 em (0,-1,0). Como o domínio definido pelas restrições não é compacto, não existe valor máximo global.

Resposta

Mínimo global de f é 1, alcançado em (0,-1,0). Não existe máximo global sob as restrições dadas.

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