Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os alores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
.
Passo 1
Nesse exercício, queremos usar multiplicadores de Lagrange para otimizar a função de três variáveis
sujeita às duas restrições
e
. Vamos precisar da teoria de Lagrange para funções com duas restrições.
Passo 2
Primeiro, definimos as funções de restrição
e
e construímos o Lagrangeano
. A condição de ótimo exige
junto com
e
.
Passo 3
Agora calculamos as derivadas parciais e escrevemos o sistema de estacionariedade:
e as restrições
Passo 4
Da terceira equação temos
, ou seja
. Isso gera dois casos:
ou
. Vamos tratar cada caso.
Passo 5
Caso 1:
. As restrições viram
e
, logo
e
. Substituindo na equação de
obtemos
. Para
vem
. Para
vem
.
Passo 6
Caso 2:
. Da equação de
segue
, e a restrição
dá
. Mas
leva a
, sem solução real. Logo não há pontos reais nesse caso.
Passo 7
Ficamos com dois pontos críticos reais:
e
. Avaliando a função:
Passo 8
Concluímos que o menor valor de
é 1 em
. Como o domínio definido pelas restrições não é compacto, não existe valor máximo global.
Resposta
Mínimo global de
é 1, alcançado em
. Não existe máximo global sob as restrições dadas.