Determine os valores extremos das seguintes funções abaixo nos intervalos dados:
e^(x+pi2), 0 <= x <= 7 pi4

Passo 1

Temos a função f(x)=e^(x+pi2) definida no intervalo [0,,7pi/4]. O conteúdo é cálculo de extremos usando derivadas e análise de monotonicidade, e vamos precisar da propriedade de que, se f'(x)>0, então f é crescente.

Passo 2

Calculamos a derivada: Observando que f'(x)=ddxl(e^(x+pi2)r)=e^(x+pi2) para todo e^(x+pi2)>0, concluímos que x em f'(x)>0. Logo, [0,,7pi/4] é estritamente crescente nesse intervalo e não tem extremos internos.

Passo 3

Para funções estritamente crescentes em um intervalo fechado, o valor mínimo ocorre no extremo esquerdo e o valor máximo no extremo direito. Vamos avaliar:

Passo 4

Avaliação em x=0:
f(0)=e^(0+pi2)=e^pi2
Avaliação em x=7pi/4:
fl(tfrac7pi4r)=e^(tfrac7pi4+pi2)=e^9pi4

Resposta

O valor mínimo é e^pi/2 em x=0 e o valor máximo é e^9pi/4 em x=7pi/4.

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