Seja f:] 0,+infty[ R uma função derivável até segunda ordem. Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta, apresentando uma demonstração, caso a afirmação seja verdadeira, ou exibindo um contraexemplo, caso seja falsa.
Se lim x +infty f^prime(x)=m, então f admite assíntota para x +infty com coeficiente angular m.

Passo 1

O exercício pede para decidir se a condição limxtoinftyf'(x)=m implica que f admite assíntota oblíqua de coeficiente angular m.

Passo 2

Para existir uma assíntota oblíqua com coeficiente angular m, deve haver uma reta y=mx+b tal que
limxtoinftyl[f(x)-(mx+b)r]=0
Isso equivale a exigir que limxtoinfty[f(x)-m x]=b seja finito.

Passo 3

Como f'(x)to m, podemos escrever
f(x)-m x = f(a)-m a + integrala^xl(f'(t)-mr),dt
Daí limxtoinfty[f(x)-m x] converge somente se integrala^infty(f'(t)-m),dt convergir.

Passo 4

Vamos construir um contraexemplo definindo, para x>=1,
f(x)=m x + ln x
Nesse caso
f'(x)=m+1x,
logo limxtoinftyf'(x)=m. Porém
f(x)-m x=ln x
é divergente, de modo que não existe b finito satisfazendo a condição de assíntota oblíqua.

Passo 5

O contraexemplo mostra que a afirmação é falsa: mesmo com f'(x)to m, f pode não ter assíntota oblíqua de coeficiente m.

Resposta

Falsa. Um contraexemplo é f(x)=m x + ln x, pois f'(x)=m+1/xto m mas não existe b tal que limxtoinfty[f(x)-(mx+b)]=0.

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