Seja
uma função derivável até segunda ordem. Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta, apresentando uma demonstração, caso a afirmação seja verdadeira, ou exibindo um contraexemplo, caso seja falsa.
Se
, então
admite assíntota para
com coeficiente angular
.
Se
Passo 1
O exercício pede para decidir se a condição
implica que
admite assíntota oblíqua de coeficiente angular
.
Passo 2
Para existir uma assíntota oblíqua com coeficiente angular
, deve haver uma reta
tal que
Isso equivale a exigir que
seja finito.
Passo 3
Como
, podemos escrever
Daí
converge somente se
convergir.
Passo 4
Vamos construir um contraexemplo definindo, para
,
Nesse caso
logo
. Porém
é divergente, de modo que não existe
finito satisfazendo a condição de assíntota oblíqua.
Passo 5
O contraexemplo mostra que a afirmação é falsa: mesmo com
,
pode não ter assíntota oblíqua de coeficiente
.
Resposta
Falsa. Um contraexemplo é
, pois
mas não existe
tal que
.