Exercício 5. Mostre que se
e
são soluções fundamentais da equação
num intervalo
, então
para
.
Sugestão: substitua
e
na equação diferencial e resolva o sistema correspondente para
e
.
Sugestão: substitua
Passo 1
O enunciado dá a equação linear homogênea de segunda ordem
e duas soluções fundamentais
e
num intervalo
. Queremos expressar
e
em função de
e suas derivadas, usando que cada
satisfaz a equação.
Passo 2
Substituindo
Isolando os termos lineares em , obtemos
Passo 3
Escrevendo em forma matricial
a regra de Cramer diz que
once
.
]
]
Passo 4
Para
trocamos a primeira coluna pela coluna dos termos constantes:
Logo, por Cramer,
]
Passo 5
Para
trocamos a segunda coluna:
Então
]