Exercício 5. Mostre que se y1(t) e y2(t) são soluções fundamentais da equação y^prime prime+p(t) y^prime+q(t) y=0 num intervalo I, então
p(t)=y2(t) y1^prime prime(t)-y1(t) y2^prime prime(t)W[y1, y2](t) e q(t)=-y2^prime(t) y1^prime prime(t)-y1^prime(t) y2^prime prime(t)W[y1, y2](t)
para t in I.
Sugestão: substitua y1(t) e y2(t) na equação diferencial e resolva o sistema correspondente para p(t) e q(t).

Passo 1

O enunciado dá a equação linear homogênea de segunda ordem
y''+p(t),y'+q(t),y=0
e duas soluções fundamentais y1(t) e y2(t) num intervalo I. Queremos expressar p(t) e q(t) em função de y1,y2 e suas derivadas, usando que cada yi satisfaz a equação.

Passo 2

Substituindo
Isolando os termos lineares em , obtemos

Passo 3

Escrevendo em forma matricial
y1' & y1[6pt] y2' & y2 p[3pt]q = -y1''[3pt]-y2'',
a regra de Cramer diz que
D=det y1' & y1[3pt] y2' & y2 =y1'y2-y2'y1 =-W[y1,y2],
once
W[y1,y2](t)=y1y2'-y2y1'.
]

Passo 4

Para p(t) trocamos a primeira coluna pela coluna dos termos constantes:
Dp=det -,y1'' & y1[3pt] -,y2'' & y2 =-y1'',y2+y1,y2''=y1,y2''-y1'',y2
Logo, por Cramer,
p(t)=DpD =y2,y1''-y1,y2''W[y1,y2](t)
]

Passo 5

Para q(t) trocamos a segunda coluna:
Dq=det y1' & -,y1''[3pt] y2' & -,y2'' =y1'(-y2'')-y2'(-y1'')=y2',y1''-y1',y2''
Então
q(t)=DqD =-y2',y1''-y1',y2''W[y1,y2](t)
]

Resposta

p(t)=y2(t),y1''(t)-y1(t),y2''(t)W[y1,y2](t), q(t)=-y2'(t),y1''(t)-y1'(t),y2''(t)W[y1,y2](t)

Exercícios relacionados