Determine os valores de a para que a função
f(x, y)= x y^4 cos x+a sin x^4x^2+y^2, & (x, y) neq(0,0) 0, & (x, y)=(0,0)
seja contínua.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que depende de duas variáveis, e , e queremos descobrir para quais valores de essa função é contínua no ponto . A matéria que a gente vai usar aqui é sobre continuidade de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar calcular o limite da função quando se aproxima de e garantir que ele seja igual ao valor da função nesse ponto, que é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar:
f(x, y) = x y^4 cos x + a sin x^4x^2 + y^2, & (x, y) neq (0,0) 0, & (x, y) = (0,0)
Para verificar a continuidade em lim(x,y) to (0,0) f(x, y) = f(0,0) = 0 , precisamos que:
Então, vamos calcular esse limite.

Passo 3

Vamos usar coordenadas polares para simplificar o cálculo do limite. Em coordenadas polares, temos:
x = r cos theta y = r sin theta
onde f(r, theta) = r cos theta cdot (r sin theta)^4 cos(r cos theta) + a sin(r^4 cos^4 theta)r^2 e f(r, theta) = r cos theta cdot r^4 sin^4 theta cos(r cos theta) + a sin(r^4 cos^4 theta)r^2 = r^5 cos theta sin^4 theta cos(r cos theta) + a sin(r^4 cos^4 theta)r^2 é o ângulo.
Substituindo na função:
= r^3 cos theta sin^4 theta cos(r cos theta) + a sin(r^4 cos^4 theta)r^2
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos analisar cada termo separadamente quando r^3 cos theta sin^4 theta cos(r cos theta) :
  1. Primeiro termo:
a sin(r^4 cos^4 theta)r^2
Como sin(r^4 cos^4 theta) approx r^4 cos^4 theta tende a 1 quando a cdot r^4 cos^4 thetar^2 = a r^2 cos^4 theta , temos que esse termo é aproximadamente , o que tende a 0.
  1. Segundo termo:
Sabemos que para pequenos , . Então, quando :
Substituindo:
Esse também tende a 0 quando .

Passo 5

Como ambos os termos tendem a 0 quando lim(x,y) to (0,0) f(x, y) = 0 , o limite total é 0:
Isso é exatamente igual ao valor da função em . Portanto, a função é contínua nesse ponto para qualquer valor de .

Resposta

A função é contínua no ponto para todos os valores de .

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