Determine os valores de
para que a função
seja contínua.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que depende de duas variáveis,
e
, e queremos descobrir para quais valores de
essa função é contínua no ponto
. A matéria que a gente vai usar aqui é sobre continuidade de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar calcular o limite da função quando
se aproxima de
e garantir que ele seja igual ao valor da função nesse ponto, que é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar:
Para verificar a continuidade em
, precisamos que:
Então, vamos calcular esse limite.
Passo 3
Vamos usar coordenadas polares para simplificar o cálculo do limite. Em coordenadas polares, temos:
onde
e
é o ângulo.
Substituindo na função:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos analisar cada termo separadamente quando
:
- Primeiro termo:
Como
tende a 1 quando
, temos que esse termo é aproximadamente
, o que tende a 0.
- Segundo termo:
Sabemos que para pequenos
,
. Então, quando
:
Substituindo:
Esse também tende a 0 quando
.
Passo 5
Como ambos os termos tendem a 0 quando
, o limite total é 0:
Isso é exatamente igual ao valor da função em
. Portanto, a função é contínua nesse ponto para qualquer valor de
.
Resposta
A função
é contínua no ponto
para todos os valores de
.