Determine os valores x nos quais a função dada é contínua, e os nos quais é descontínua:
g(x)= 12-x & se x <= 1 1x & se x>1

Passo 1

O enunciado dá uma função definida em dois pedaços, que são funções racionais. O conteúdo envolvido é continuidade de funções racionais e verificação no ponto de transição entre peças, que é em x=1.

Passo 2

Para verificar a continuidade, primeiro encontramos o domínio de cada ramo e usamos que funções racionais são contínuas em todo ponto do seu domínio.\n- Para x≤1 temos g(x)=1/(2−x). O denominador 2−x nunca zera em x≤1, então o domínio desse ramo é (−∞,1], e nele g é contínua.\n- Para x>1 temos g(x)=1/x. O denominador x nunca zera em x>1, logo o domínio é (1,∞), e g também é contínua nesse intervalo.

Passo 3

Agora checamos o ponto de transição x=1. Precisamos ver se os limites laterais em 1 coincidem com o valor g(1):\nDa esquerda: limxto1^-12−x=12−1=1\nDa direita: limxto1^+1x=11=1\nE g(1), usando o ramo x≤1, é g(1)=12−1=1\nComo limites laterais e valor no ponto são iguais, g é contínua em x=1.

Passo 4

Concluímos que não há nenhum ponto de descontinuidade: g é contínua em todo o seu domínio, que é ℝ.

Resposta

g(x) é contínua para todo x∈ℝ e não possui pontos de descontinuidade.

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