Determine os valores x nos quais a função dada é contínua, e os nos quais é descontínua:
f(x)= xx-3 & se x neq 3 0 & se x=3

Passo 1

O enunciado dá uma função por partes: para x≠3 temos f(x)= xx-3 e para x=3 temos f(3)=0. Queremos saber em que pontos f é contínua ou descontínua. O conteúdo aqui envolve continuidade de funções racionais e análise de limite em ponto de “buraco”.

Passo 2

Funções racionais são contínuas em todo ponto em que o denominador não se anula. Como xx-3 tem denominador zero só em x=3, concluímos que para todo x≠3 a função é contínua, pois é dada por essa expressão racional.
Agora precisamos checar a continuidade em x=3. Para isso, analisamos o limite de f(x) quando x→3 (pela definição de continuidade, deve valer limxto3f(x)=f(3)).

Passo 3

Calculamos limxto3xx-3. Observando que o denominador tende a zero e o numerador tende a 3, o quociente tende a ±∞, logo o limite não existe como número real.
Como o limite não existe em x=3, não podemos ter continuidade aí, mesmo definindo f(3)=0. Portanto há descontinuidade em x=3.

Resposta

f é contínua para todo x≠3; f é descontínua em x=3.

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