Determine os valores
nos quais a função dada é contínua, e os nos quais é descontínua:
Passo 1
O enunciado dá uma função por partes: para x≠3 temos f(x)=
e para x=3 temos f(3)=0. Queremos saber em que pontos f é contínua ou descontínua. O conteúdo aqui envolve continuidade de funções racionais e análise de limite em ponto de “buraco”.
Passo 2
Funções racionais são contínuas em todo ponto em que o denominador não se anula. Como
tem denominador zero só em x=3, concluímos que para todo x≠3 a função é contínua, pois é dada por essa expressão racional.
Agora precisamos checar a continuidade em x=3. Para isso, analisamos o limite de f(x) quando x→3 (pela definição de continuidade, deve valer ).
Agora precisamos checar a continuidade em x=3. Para isso, analisamos o limite de f(x) quando x→3 (pela definição de continuidade, deve valer
Passo 3
Calculamos
. Observando que o denominador tende a zero e o numerador tende a 3, o quociente tende a ±∞, logo o limite não existe como número real.
Como o limite não existe em x=3, não podemos ter continuidade aí, mesmo definindo f(3)=0. Portanto há descontinuidade em x=3.
Como o limite não existe em x=3, não podemos ter continuidade aí, mesmo definindo f(3)=0. Portanto há descontinuidade em x=3.
Resposta
f é contínua para todo x≠3; f é descontínua em x=3.