Determine os valores de
para os quais a função
a) tem exatamente um ponto de sela e dois pontos de mínimo local;
b) tem exatamente dois pontos de sela e um mínimo local.
c) Existe
para o qual a função tenha ao menos um máximo local?
d) Existe
para o qual a função tenha mais de 3 pontos críticos?
b) tem exatamente dois pontos de sela e um mínimo local.
c) Existe
d) Existe
Passo 1
O enunciado dá a função
com
, e pede:
- (a) para quais
a função tem exatamente um ponto de sela e dois pontos de mínimo local; - (b) para quais
a função tem exatamente dois pontos de sela e um mínimo local; - (c) existe
para o qual a função tenha ao menos um máximo local?; - (d) existe
para o qual a função tenha mais de pontos críticos?
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função está definida em
. - O parâmetro
é um número real que afeta os termos em . - Devemos encontrar pontos críticos e classificá‑los (mínimos, máximos, selas, ou casos degenerados), dependendo de
.
Passo 2
Encontrar os pontos críticos: calcular o gradiente e resolver [\nabla f=0).
Cálculo das derivadas parciais (mostrar passo a passo):
Pontos críticos são soluções do sistema
Da segunda equação obtemos imediatamente
Analisar a primeira equação dependendo de
, então
para todo
. Assim, para
todos os pontos com
são pontos críticos — isto é, existe uma reta inteira de pontos críticos
.
- Se , podemos dividir por
e obter
- Se
Da equação
temos
.
Portanto, para
os pontos críticos são os três pontos
Para
há infinitos pontos críticos (a reta
).]
Passo 3
Instrumento de classificação: matriz Hessiana e critério das derivadas segundas para funções de duas variáveis.
A Hessiana
tem entradas
. Para nossa função:
Para classificar um ponto crítico usamos o determinante da Hessiana
Lembrete rápido do critério (para pontos isolados):
- Se
e então mínimo local. - Se
e então máximo local. - Se
então ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo (caso degenerado).
Note que aqui
sempre, e
. Logo o sinal de
decide:
(mínimo),
(sela). Não existe possibilidade de
com
porque
.
Passo 4
Avaliar
nos pontos críticos (caso
):
- Em
:
Portanto
.
- Em
(note que ):
Portanto
.
Agora classificar conforme o sinal de
.
Passo 5
Caso
.
- Em
: então . Logo é um ponto de sela. - Em
: então e . Logo ambos são mínimos locais.
Conclusão para
: exatamente um ponto de sela
e dois mínimos locais
. Isso responde a letra (a).
Passo 6
Caso
.
- Em
: (porque para ); então e → é um mínimo local. - Em
: (pois ), então → cada um é um ponto de sela.
Conclusão para
: exatamente dois pontos de sela
e um mínimo local
. Isso responde a letra (b).
Passo 7
Analisar a existência de máximos locais (letra (c)).
Para existir um máximo local isolado num ponto crítico precisamos de
e
. Mas aqui
. Assim
implica
. Portanto é impossível ter
e simultaneamente
. Logo não há nenhum ponto crítico isolado que seja máximo local para nenhum
.
Verificação do caso degenerado
: quando
existe a reta de pontos críticos
. Nessa situação não há máximos locais isolados (a função reduz a
, que ao longo de
vale
constante e não são máximos isolados). Portanto, em nenhum caso surge um máximo local isolado.
Conclusão para (c): não existe
que gere um máximo local.
Passo 8
Contagem de pontos críticos e resposta à letra (d).
- Para
há exatamente três pontos críticos (os três listados em Passo 2). - Para
há infinitos pontos críticos (a reta , isto é, mais que ).
Portanto existe sim
para o qual a função tenha mais de
pontos críticos: por exemplo
(na verdade para
há infinitos pontos críticos).
Resposta
(a)
(b)
(c) Não existe
tal que
tenha um máximo local.
(d) Sim. Por exemplo
(para
existe uma reta infinita de pontos críticos, logo mais de
).