Determine os valores de a para os quais a função
f(x, y)=2 a x^{4}+y^{2}-a x^{2}-2 y
a) tem exatamente um ponto de sela e dois pontos de mínimo local;
b) tem exatamente dois pontos de sela e um mínimo local.
c) Existe a \in \mathbb{R} para o qual a função tenha ao menos um máximo local?
d) Existe a \in \mathbb{R} para o qual a função tenha mais de 3 pontos críticos?

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=2a x^{4}+y^{2}-a x^{2}-2y,
com a\in\mathbb{R}, e pede:
  • (a) para quais a a função tem exatamente um ponto de sela e dois pontos de mínimo local;
  • (b) para quais a a função tem exatamente dois pontos de sela e um mínimo local;
  • (c) existe a\in\mathbb{R} para o qual a função tenha ao menos um máximo local?;
  • (d) existe a\in\mathbb{R} para o qual a função tenha mais de 3 pontos críticos?
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função está definida em \mathbb{R}^2.
  • O parâmetro a é um número real que afeta os termos em x.
  • Devemos encontrar pontos críticos e classificá‑los (mínimos, máximos, selas, ou casos degenerados), dependendo de a.

Passo 2

Encontrar os pontos críticos: calcular o gradiente e resolver [\nabla f=0).
Cálculo das derivadas parciais (mostrar passo a passo):
\frac{\partial f}{\partial x}= \frac{d}{dx}\big(2a x^{4}-a x^{2}\big)=8a x^{3}-2a x = 2a x(4x^{2}-1).
\frac{\partial f}{\partial y}= \frac{d}{dy}\big(y^{2}-2y\big)=2y-2.
Pontos críticos são soluções do sistema
\begin{cases} 2a x(4x^{2}-1)=0,\\[4pt] 2y-2=0. \end{cases}
Da segunda equação obtemos imediatamente
y=1.
Analisar a primeira equação dependendo de a\]: - Se \(a=0, então \frac{\partial f}{\partial x}=0 para todo x. Assim, para a=0 todos os pontos com y=1 são pontos críticos — isto é, existe uma reta inteira de pontos críticos \{(x,1):x\in\mathbb{R}\}.
- Se a\neq0, podemos dividir por 2a e obter
x(4x^{2}-1)=0 \quad\Rightarrow\quad x=0 \quad\text{ou}\quad 4x^{2}-1=0.
Da equação 4x^{2}-1=0 temos x=\pm\frac{1}{2}.
Portanto, para a\neq0 os pontos críticos são os três pontos
(0,1),\quad \Big(\tfrac{1}{2},1\Big),\quad \Big(-\tfrac{1}{2},1\Big).
Para a=0 há infinitos pontos críticos (a reta y=1).]

Passo 3

Instrumento de classificação: matriz Hessiana e critério das derivadas segundas para funções de duas variáveis.
A Hessiana H tem entradas f_{xx},f_{xy},f_{yy}. Para nossa função:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(8a x^{3}-2a x)=24a x^{2}-2a = 2a(12x^{2}-1),
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(8a x^{3}-2a x)=0,
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(2y-2)=2.
Para classificar um ponto crítico usamos o determinante da Hessiana
D = f_{xx}\,f_{yy} - (f_{xy})^{2} = f_{xx}\cdot 2.
Lembrete rápido do critério (para pontos isolados):
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então máximo local.
  • Se D<0 então ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo (caso degenerado).
Note que aqui f_{yy}=2>0 sempre, e D=2f_{xx}. Logo o sinal de f_{xx} decide: f_{xx}>0 \iff D>0 (mínimo), f_{xx}<0 \iff D<0 (sela). Não existe possibilidade de D>0 com f_{xx}<0 porque D=2f_{xx}.

Passo 4

Avaliar f_{xx} nos pontos críticos (caso a\neq0):
  • Em x=0:
f_{xx}(0,1)=2a(12\cdot 0^{2}-1)=2a(-1)=-2a.
Portanto D(0,1)=2f_{xx}=-4a.
  • Em x=\pm\tfrac{1}{2} (note que x^{2}=\tfrac{1}{4}):
f_{xx}\Big(\pm\tfrac{1}{2},1\Big)=2a\big(12\cdot\tfrac{1}{4}-1\big)=2a(3-1)=2a\cdot 2 =4a.
Portanto D\big(\pm\tfrac{1}{2},1\big)=2\cdot 4a=8a.
Agora classificar conforme o sinal de a.

Passo 5

Caso a>0.
  • Em (0,1): f_{xx}(0,1)=-2a<0 então D<0. Logo (0,1) é um ponto de sela.
  • Em \big(\pm\tfrac{1}{2},1\big): f_{xx}=4a>0 então D>0 e f_{xx}>0. Logo ambos são mínimos locais.
Conclusão para a>0: exatamente um ponto de sela (0,1) e dois mínimos locais \big(\pm\tfrac{1}{2},1\big). Isso responde a letra (a).

Passo 6

Caso a<0.
  • Em (0,1): f_{xx}(0,1)=-2a>0 (porque -2a>0 para a<0); então D>0 e f_{xx}>0 (0,1) é um mínimo local.
  • Em \big(\pm\tfrac{1}{2},1\big): f_{xx}=4a<0 (pois a<0), então D<0 → cada um é um ponto de sela.
Conclusão para a<0: exatamente dois pontos de sela \big(\pm\tfrac{1}{2},1\big) e um mínimo local (0,1). Isso responde a letra (b).

Passo 7

Analisar a existência de máximos locais (letra (c)).
Para existir um máximo local isolado num ponto crítico precisamos de D>0 e f_{xx}<0. Mas aqui D=2f_{xx}. Assim D>0 implica f_{xx}>0. Portanto é impossível ter D>0 e simultaneamente f_{xx}<0. Logo não há nenhum ponto crítico isolado que seja máximo local para nenhum a\in\mathbb{R}.
Verificação do caso degenerado a=0: quando a=0 existe a reta de pontos críticos \{(x,1)\}. Nessa situação não há máximos locais isolados (a função reduz a f(x,y)=(y-1)^{2}-1, que ao longo de y=1 vale -1 constante e não são máximos isolados). Portanto, em nenhum caso surge um máximo local isolado.
Conclusão para (c): não existe a\in\mathbb{R} que gere um máximo local.

Passo 8

Contagem de pontos críticos e resposta à letra (d).
  • Para a\neq0 há exatamente três pontos críticos (os três listados em Passo 2).
  • Para a=0 há infinitos pontos críticos (a reta y=1, isto é, mais que 3).
Portanto existe sim a\in\mathbb{R} para o qual a função tenha mais de 3 pontos críticos: por exemplo a=0 (na verdade para a=0 há infinitos pontos críticos).

Resposta

(a) a>0
(b) a<0
(c) Não existe a\in\mathbb{R} tal que f tenha um máximo local.
(d) Sim. Por exemplo a=0 (para a=0 existe uma reta infinita de pontos críticos, logo mais de 3).

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