Encontre o máximo e o mínimo absolutos de
em
sendo:
Você pode usar multiplicadores de Lagrange (apenas) para resolver esse exercício?
Você pode usar multiplicadores de Lagrange (apenas) para resolver esse exercício?
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o máximo e o mínimo absolutos de
sobre o conjunto
Informações dadas:
- A superfície de restrição é a hipérbole definida por
. - Só consideramos a parte dessa hipérbole com
entre e (inclusive).
O que se quer: os pontos deonde atinge seu valor máximo absoluto (maior valor) e mínimo absoluto (menor valor) e os respectivos valores.
Passo 2
Rápida explicação do método pedido: multiplicadores de Lagrange.
- A ideia: para otimizar
sujeita a uma restrição , pontos candidatos satisfazem
onde
é o multiplicador de Lagrange. Isso vem da condição de que no ponto ótimo a derivada de
na direção tangente à curva de restrição é zero.
- Aqui a restrição principal é
.\n
Como o conjuntotambém impõe , além dos possíveis pontos críticos interiores da curva (com ), devemos verificar os pontos da curva onde e onde (as “bordas” impostas pelo intervalo de ). Podemos tratar essas bordas usando Lagrange também, interpretando e como igualdades adicionais — mas atenção: quando os gradientes das restrições ficam linearmente dependentes, as condições de Lagrange podem não produzir multiplicadores; mesmo assim esses pontos devem ser considerados como candidatos e avaliados diretamente.
Passo 3
Aplicar Lagrange para pontos “interiores” da curva (isto é, pontos da hipérbole com
- Gradientes:
- Condição de Lagrange:
Estas são duas equações a resolver juntas com
, podemos cancelar
obtendo
, que não tem solução real. Logo não existem soluções com
.
- Portanto a única possibilidade é . Como
nunca é zero na hipérbole (pois
), concluímos que
.
- Se , pela restrição
temos
. Como
escolhemos
, ou seja o ponto
.
- Verificação das equações de Lagrange em : substituindo em
e
não existe
tal que
. Isso significa que as equações de Lagrange não são satisfeitas em
. Conclusão: não há pontos críticos interiores (com
) obtidos via Lagrange; a única interseção possível pela análise foi
, que não satisfaz a condição de multiplicador (caso degenerado). Portanto não existem candidatos interiores não-degnerados: os extremos devem ocorrer nas “bordas” em
ou
.]
- Portanto a única possibilidade é
- Se
- Verificação das equações de Lagrange em
Passo 4
Tratar a borda
. Interseção da hipérbole com
:
- Colocar
na restrição dá . - Logo a interseção é o ponto
. Mesmo que as equações de Lagrange com duas restrições possam falhar aqui (os gradientes das restrições são linearmente dependentes em ), o ponto pertence a e é um candidato que precisa ser avaliado em . - Avaliar
em :
Passo 5
Tratar a borda
. Interseção da hipérbole com
:
- Colocar
em dá . - Assim temos dois pontos na interseção:
e .
Podemos também aplicar Lagrange com duas restriçõese para verificar consistência, mas aqui é suficiente obter as interseções e avaliar . - Avaliar
nesses pontos:
Passo 6
Comparar os valores obtidos nos candidatos:
-
dá . -
dá . -
dá .
Como não há outros candidatos (nenhum ponto interior satisfaz as condições de Lagrange para produzir extremos) e o conjuntoé compacto, esses três valores cobrem os possíveis extremos. Logo: - Máximo absoluto:
em . - Mínimo absoluto:
em .
Resposta
Máximo absoluto:
.
Mínimo absoluto:
.