Encontre o máximo e o mínimo absolutos de f(x, y) em D sendo:
f(x, y)=x y ; D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}-y^{2}=1, x \in[1,2]\right\}
Você pode usar multiplicadores de Lagrange (apenas) para resolver esse exercício?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o máximo e o mínimo absolutos de f(x,y)=xy sobre o conjunto
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x^2-y^2=1,\; x\in[1,2]\}.
Informações dadas:
  • A superfície de restrição é a hipérbole definida por \;x^2-y^2=1\;.
  • Só consideramos a parte dessa hipérbole com x entre 1 e 2 (inclusive).
    O que se quer: os pontos de D onde f atinge seu valor máximo absoluto (maior valor) e mínimo absoluto (menor valor) e os respectivos valores.

Passo 2

Rápida explicação do método pedido: multiplicadores de Lagrange.
  • A ideia: para otimizar f(x,y) sujeita a uma restrição g(x,y)=0, pontos candidatos satisfazem
\(\nabla f(x,y)=\lambda\,\nabla g(x,y)\),
onde \lambda é o multiplicador de Lagrange. Isso vem da condição de que no ponto ótimo a derivada de f na direção tangente à curva de restrição é zero.
  • Aqui a restrição principal é \;g(x,y)=x^2-y^2-1=0.\n
    Como o conjunto D também impõe x\in[1,2], além dos possíveis pontos críticos interiores da curva (com 1<x<2), devemos verificar os pontos da curva onde x=1 e onde x=2 (as “bordas” impostas pelo intervalo de x). Podemos tratar essas bordas usando Lagrange também, interpretando x=1 e x=2 como igualdades adicionais — mas atenção: quando os gradientes das restrições ficam linearmente dependentes, as condições de Lagrange podem não produzir multiplicadores; mesmo assim esses pontos devem ser considerados como candidatos e avaliados diretamente.

Passo 3

Aplicar Lagrange para pontos “interiores” da curva (isto é, pontos da hipérbole com 1<x<2\)). - Definir \[f(x,y)=xy,\qquad g(x,y)=x^2-y^2-1.
  • Gradientes:
\nabla f(x,y)=(y,\;x), \qquad \nabla g(x,y)=(2x,\;-2y).
  • Condição de Lagrange:
\(\nabla f=\lambda\nabla g\)\quad\Rightarrow\quad \begin{cases} y = \lambda(2x),\\[4pt] x = \lambda(-2y). \end{cases}
Estas são duas equações a resolver juntas com g(x,y)=0\]. - Multiplicando as duas equações membro a membro: \[y\cdot x = (2\lambda x)\cdot(-2\lambda y) \Rightarrow xy = -4\lambda^2 xy.\] - Se \(xy\neq0, podemos cancelar xy obtendo 1=-4\lambda^2, que não tem solução real. Logo não existem soluções com xy\neq0.
- Portanto a única possibilidade é xy=0. Como x nunca é zero na hipérbole (pois x^2-y^2=1\Rightarrow |x|\ge1), concluímos que y=0.
- Se y=0, pela restrição x^2-0=1 temos x=\pm1. Como x\in[1,2] escolhemos x=1, ou seja o ponto (1,0).
- Verificação das equações de Lagrange em (1,0): substituindo em (y,x)=(0,1) e (2x,-2y)=(2,0) não existe \lambda tal que (0,1)=\lambda(2,0). Isso significa que as equações de Lagrange não são satisfeitas em (1,0). Conclusão: não há pontos críticos interiores (com 1<x<2) obtidos via Lagrange; a única interseção possível pela análise foi (1,0), que não satisfaz a condição de multiplicador (caso degenerado). Portanto não existem candidatos interiores não-degnerados: os extremos devem ocorrer nas “bordas” em x=1 ou x=2.]

Passo 4

Tratar a borda x=1. Interseção da hipérbole com x=1:
  • Colocar x=1 na restrição x^2-y^2=1 1-y^2=1\Rightarrow y^2=0\Rightarrow y=0.
  • Logo a interseção é o ponto (1,0). Mesmo que as equações de Lagrange com duas restrições possam falhar aqui (os gradientes das restrições são linearmente dependentes em (1,0)), o ponto pertence a D e é um candidato que precisa ser avaliado em f.
  • Avaliar f em (1,0):
f(1,0)=1\cdot 0=0.

Passo 5

Tratar a borda x=2. Interseção da hipérbole com x=2:
  • Colocar x=2 em x^2-y^2=1 4-y^2=1\Rightarrow y^2=3\Rightarrow y=\pm\sqrt{3}.
  • Assim temos dois pontos na interseção: (2,\sqrt{3}) e (2,-\sqrt{3}).
    Podemos também aplicar Lagrange com duas restrições g(x,y)=0 e h(x,y)=x-2=0 para verificar consistência, mas aqui é suficiente obter as interseções e avaliar f.
  • Avaliar f nesses pontos:
f(2,\sqrt{3})=2\sqrt{3}, \qquad f(2,-\sqrt{3})=-2\sqrt{3}.

Passo 6

Comparar os valores obtidos nos candidatos:
  • (1,0) f=0.
  • (2,\sqrt{3}) f=2\sqrt{3}\approx 3{,}464.
  • (2,-\sqrt{3}) f=-2\sqrt{3}\approx -3{,}464.
    Como não há outros candidatos (nenhum ponto interior satisfaz as condições de Lagrange para produzir extremos) e o conjunto D é compacto, esses três valores cobrem os possíveis extremos. Logo:
  • Máximo absoluto: f=2\sqrt{3} em (2,\sqrt{3}).
  • Mínimo absoluto: f=-2\sqrt{3} em (2,-\sqrt{3}).

Resposta

Máximo absoluto: f(2,\sqrt{3})=2\sqrt{3}.
Mínimo absoluto: f(2,-\sqrt{3})=-2\sqrt{3}.

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