Encontre uma parametrização para C, esboce C e use esta parametrização para encontrar, caso existam, os valores máximo e mínimo de f em C, bem como os pontos onde estes valores são assumidos:
C=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x+y+z=1\right. e \left.x-y+3 z=3\right\} e f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}.

Passo 1

O enunciado dá:
  • A curva C é a interseção das duas retas (planos) em \mathbb{R}^3 definidas por x+y+z=1e x-y+3z=3.Ou seja, C=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x+y+z=1,\; x-y+3z=3\}.
  • A função é f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}.
O que se pede:
  • Encontrar uma parametrização de C.
  • Esboçar (descrever) C.
  • Usar a parametrização para encontrar, caso existam, os valores máximo e mínimo de f restrita a C e os pontos onde esses valores são assumidos.

Passo 2

Vamos parametrizar C. A interseção de duas ferramentas lineares (dois planos não paralelos) é, em geral, uma reta. Para obter uma parametrização, resolvemos o sistema linear formado pelas equações dos planos. Tomo z como parâmetro livre e chamo z=t, onde \,t\in\mathbb{R}.
As equações são
x+y+z=1,
x-y+3z=3.
Subtraindo a primeira da segunda:
(x-y+3z)-(x+y+z)=3-1 \quad\Rightarrow\quad -2y+2z=2.
Dividindo por 2:
-y+z=1 \quad\Rightarrow\quad y=z-1.
Substituindo y=z-1 na primeira equação:
x+(z-1)+z=1 \quad\Rightarrow\quad x+2z-1=1 \quad\Rightarrow\quad x+2z=2,
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x=2-2z.
Com z=t obtemos:
x=2-2t,\qquad y=t-1,\qquad z=t.

Passo 3

Escrevendo em forma vetorial, a parametrização é
\mathbf{r}(t)=\bigl(2-2t,\;t-1,\;t\bigr)=\bigl(2,-1,0\bigr)+t\bigl(-2,1,1\bigr),\qquad t\in\mathbb{R}.
Aqui \mathbf{p}=(2,-1,0) é um ponto da reta (quando t=0) e \mathbf{v}=(-2,1,1) é o vetor diretor.
Para esboçar/visualizar a reta, dá pra marcar alguns pontos:
  • t=0\Rightarrow (2,-1,0).
  • t=1\Rightarrow (0,0,1).
  • t=2\Rightarrow (-2,1,2).
A reta passa por (2,-1,0) e por (0,0,1) e se estende indefinidamente nas duas direções ao longo de \mathbf{v}=(-2,1,1).

Passo 4

Agora expressamos f ao longo de C em função de t. Substituindo x=2-2t, y=t-1, z=t em f:
f(t)=(2-2t)^{2}+(t-1)^{2}+t^{2}.
Expandindo termo a termo:
(2-2t)^{2}=4-8t+4t^{2},
(t-1)^{2}=t^{2}-2t+1,
t^{2}=t^{2}.
Somando:
f(t)=4-8t+4t^{2}+t^{2}-2t+1+t^{2}=6t^{2}-10t+5.
Portanto o problema de encontrar extremos de f em C virou um problema univariado: estudar a função quadrática \,f(t)=6t^{2}-10t+5, t\in\mathbb{R}.

Passo 5

Análise da quadrática \,f(t)=6t^{2}-10t+5:
  • O coeficiente de t^{2} é 6>0, então a parábola é voltada para cima. Logo existe um único mínimo global e não existe máximo (pois f(t)\to+\infty quando |t|\to\infty).
Para encontrar o t do mínimo usamos a fórmula do vértice da parábola:
t_{\text{min}}=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-10)}{2\cdot 6}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}.

Passo 6

Calculamos o valor mínimo f(t_{\text{min}}). Substituindo t=\dfrac{5}{6} em f(t)=6t^{2}-10t+5:
f\!\left(\tfrac{5}{6}\right)=6\left(\tfrac{5}{6}\right)^{2}-10\left(\tfrac{5}{6}\right)+5.
Calcule passo a passo:
6\left(\tfrac{25}{36}\right)=\tfrac{150}{36}=\tfrac{25}{6}, \qquad 10\left(\tfrac{5}{6}\right)=\tfrac{50}{6}.
Então
f\!\left(\tfrac{5}{6}\right)=\tfrac{25}{6}-\tfrac{50}{6}+5=\left(-\tfrac{25}{6}\right)+5=\left(-\tfrac{25}{6}\right)+\tfrac{30}{6}=\tfrac{5}{6}.
Agora o ponto de mínimo na reta: substituir t=\dfrac{5}{6} na parametrização
x=2-2t=2-2\cdot\frac{5}{6}=2-\frac{10}{6}=\frac{12-10}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3},
y=t-1=\frac{5}{6}-1=-\frac{1}{6},
z=t=\frac{5}{6}.
Logo o ponto onde f atinge o mínimo em C é \left(\dfrac{1}{3},-\dfrac{1}{6},\dfrac{5}{6}\right) e o valor mínimo é \dfrac{5}{6}.
Observação geométrica (método alternativo, útil em provas): o mínimo de x^{2}+y^{2}+z^{2} na reta é o quadrado da distância do origin ao ponto da reta mais próximo — isso é a projeção ortogonal da origem sobre a reta. Se \mathbf{r}(t)=\mathbf{p}+t\mathbf{v}, o parâmetro do pé da perpendicular é t_*=-\dfrac{\mathbf{p}\cdot\mathbf{v}}{\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}}. Aqui \mathbf{p}=(2,-1,0), \mathbf{v}=(-2,1,1), então \mathbf{p}\cdot\mathbf{v}=-5 e \mathbf{v}\cdot\mathbf{v}=6, dando t_*=\dfrac{5}{6}, coincidente com o cálculo anterior.

Passo 7

Sobre máximos: como a reta C é ilimitada (parametrização válida para todo t\in\mathbb{R}) e f(t)\to+\infty quando |t|\to\infty, não existe valor máximo de f em C.

Resposta

Parametrização: \mathbf{r}(t)=\bigl(2-2t,\;t-1,\;t\bigr),\\ t\in\mathbb{R}.
Valor mínimo de f em C: \dfrac{5}{6}, atingido em \left(\dfrac{1}{3},-\dfrac{1}{6},\dfrac{5}{6}\right).
Valor máximo de f em C: não existe (isto é, f não possui máximo em C).

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