Encontre uma parametrização para
, esboce
e use esta parametrização para encontrar, caso existam, os valores máximo e mínimo de
em
, bem como os pontos onde estes valores são assumidos:
e
e
.
Passo 1
O enunciado dá:
- A curva
é a interseção das duas retas (planos) em definidas por e Ou seja, . - A função é
.
O que se pede:
- Encontrar uma parametrização de
. - Esboçar (descrever)
. - Usar a parametrização para encontrar, caso existam, os valores máximo e mínimo de
restrita a e os pontos onde esses valores são assumidos.
Passo 2
Vamos parametrizar
. A interseção de duas ferramentas lineares (dois planos não paralelos) é, em geral, uma reta. Para obter uma parametrização, resolvemos o sistema linear formado pelas equações dos planos. Tomo
como parâmetro livre e chamo
, onde
.
As equações são
Subtraindo a primeira da segunda:
Dividindo por
:
Substituindo
na primeira equação:
logo
Com
obtemos:
Passo 3
Escrevendo em forma vetorial, a parametrização é
Aqui
é um ponto da reta (quando
) e
é o vetor diretor.
Para esboçar/visualizar a reta, dá pra marcar alguns pontos:
-
. -
. -
.
A reta passa por
e por
e se estende indefinidamente nas duas direções ao longo de
.
Passo 4
Agora expressamos
ao longo de
em função de
. Substituindo
,
,
em
:
Expandindo termo a termo:
Somando:
Portanto o problema de encontrar extremos de
em
virou um problema univariado: estudar a função quadrática
,
.
Passo 5
Análise da quadrática
:
- O coeficiente de
é , então a parábola é voltada para cima. Logo existe um único mínimo global e não existe máximo (pois quando ).
Para encontrar o
do mínimo usamos a fórmula do vértice da parábola:
Passo 6
Calculamos o valor mínimo
. Substituindo
em
:
Calcule passo a passo:
Então
Agora o ponto de mínimo na reta: substituir
na parametrização
Logo o ponto onde
atinge o mínimo em
é
e o valor mínimo é
.
Observação geométrica (método alternativo, útil em provas): o mínimo de
na reta é o quadrado da distância do origin ao ponto da reta mais próximo — isso é a projeção ortogonal da origem sobre a reta. Se
, o parâmetro do pé da perpendicular é
. Aqui
,
, então
e
, dando
, coincidente com o cálculo anterior.
Passo 7
Sobre máximos: como a reta
é ilimitada (parametrização válida para todo
) e
quando
, não existe valor máximo de
em
.
Resposta
Parametrização:
Valor mínimo de
em
:
, atingido em
Valor máximo de
em
: não existe (isto é,
não possui máximo em
).