Determune o valor de x tal que \log _{5}(x)=\frac{1}{2} \log (25-x)

Passo 1

O enunciado pede: determinar o valor de x tal que
\log_{5}(x)=\frac{1}{2}\log(25-x).
Informações relevantes dadas:
  • A equação envolvendo logaritmos é a expressão acima.
  • Para que os logaritmos estejam definidos é necessário que os argumentos sejam positivos, ou seja: x>0\quad\text{e}\quad 25-x>0.Daí o domínio possível é 0<x<25.
  • Observação: o segundo logaritmo aparece sem índice de base. Para que possamos usar propriedades de igualdade de logaritmos (ver passo seguinte) é natural assumir que esse log tem a mesma base do primeiro (base 5). Vou justificar e usar essa escolha no passo seguinte.

Passo 2

Breve aula sobre logaritmos e a escolha da base — sem pressa, com calma.
  • Definição: \log_{a}(b) é o número y tal que a^{y}=b. Aqui a>0, a\neq1 e b>0.
  • Propriedade de potência: para qualquer c real, c\log_{a}(u)=\log_{a}\bigl(u^{c}\bigr).Isso vem do fato de que a^{c\log_a(u)}=(a^{\log_a(u)})^{c}=u^{c}.
  • Propriedade de igualdade: se \log_{a}(U)=\log_{a}(V) e a base a é fixa, então necessariamente U=V (pois a função a^{y} é injetora). Atenção: isso vale somente quando os dois logaritmos têm a mesma base.
  • Por isso é importante que os dois logaritmos na equação tenham a mesma base. Se o segundo log fosse de outra base (por exemplo base 10), não poderíamos simplesmente igualar os argumentos sem converter de base — e a equação ficaria bem mais complicada (transcendental).
  • Portanto vou assumir que o \log sem índice é também \log_{5}. Essa é a interpretação natural para este tipo de exercício escolar (e fica, além disso, simples e resolúvel por álgebra elementar).

Passo 3

Aplicar a propriedade de potência ao lado direito e simplificar.
  • Partindo de \log_{5}(x)=\frac{1}{2}\log_{5}(25-x),multiplica-se ambos os lados por 2: 2\log_{5}(x)=\log_{5}(25-x).
  • Usando a propriedade 2\log_{5}(x)=\log_{5}\bigl(x^{2}\bigr), obtemos \log_{5}\bigl(x^{2}\bigr)=\log_{5}(25-x).

Passo 4

Usar a propriedade de igualdade de logaritmos (mesma base) para igualar os argumentos.
  • Como os dois logaritmos estão na mesma base 5 e os argumentos são positivos, podemos afirmar x^{2}=25-x.Agora temos uma equação polinomial (quadrática) simples.

Passo 5

Resolver a equação quadrática passo a passo.
  • Reescrevendo: x^{2}+x-25=0.
  • Aplicando a fórmula de Bhaskara (fórmula resolvente) para ax^{2}+bx+c=0 com a=1, b=1, c=-25: x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-1\pm\sqrt{1-4\cdot1\cdot(-25)}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{1+100}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{101}}{2}.
  • Assim as duas raízes são x_{1}=\frac{-1+\sqrt{101}}{2},\qquad x_{2}=\frac{-1-\sqrt{101}}{2}.

Passo 6

Verificar quais raízes pertencem ao domínio 0<x<25.
  • Calcular aproximadamente (apenas para checar o sinal): \sqrt{101}\approx10{,}05.
    • Então x_{1}\approx\frac{-1+10{,}05}{2}\approx\frac{9{,}05}{2}\approx4{,}525, que está no intervalo (0,25).
    • E x_{2}\approx\frac{-1-10{,}05}{2}\approx\frac{-11{,}05}{2}\approx-5{,}525, que é negativo e, portanto, não pertence ao domínio (não pode entrar em \log_{5}(x)).
  • Conclusão: a única solução admissível é x=\frac{-1+\sqrt{101}}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{-1+\sqrt{101}}{2}

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