Determune o valor de
tal que
Passo 1
O enunciado pede: determinar o valor de
tal que
Informações relevantes dadas:
- A equação envolvendo logaritmos é a expressão acima.
- Para que os logaritmos estejam definidos é necessário que os argumentos sejam positivos, ou seja:
Daí o domínio possível é . - Observação: o segundo logaritmo aparece sem índice de base. Para que possamos usar propriedades de igualdade de logaritmos (ver passo seguinte) é natural assumir que esse log tem a mesma base do primeiro (base
). Vou justificar e usar essa escolha no passo seguinte.
Passo 2
Breve aula sobre logaritmos e a escolha da base — sem pressa, com calma.
- Definição:
é o número tal que . Aqui , e . - Propriedade de potência: para qualquer
real, Isso vem do fato de que . - Propriedade de igualdade: se
e a base é fixa, então necessariamente (pois a função é injetora). Atenção: isso vale somente quando os dois logaritmos têm a mesma base. - Por isso é importante que os dois logaritmos na equação tenham a mesma base. Se o segundo log fosse de outra base (por exemplo base
), não poderíamos simplesmente igualar os argumentos sem converter de base — e a equação ficaria bem mais complicada (transcendental). - Portanto vou assumir que o
sem índice é também . Essa é a interpretação natural para este tipo de exercício escolar (e fica, além disso, simples e resolúvel por álgebra elementar).
Passo 3
Aplicar a propriedade de potência ao lado direito e simplificar.
- Partindo de
multiplica-se ambos os lados por : - Usando a propriedade
, obtemos
Passo 4
Usar a propriedade de igualdade de logaritmos (mesma base) para igualar os argumentos.
- Como os dois logaritmos estão na mesma base
e os argumentos são positivos, podemos afirmar Agora temos uma equação polinomial (quadrática) simples.
Passo 5
Resolver a equação quadrática passo a passo.
- Reescrevendo:
- Aplicando a fórmula de Bhaskara (fórmula resolvente) para
com , , : - Assim as duas raízes são
Passo 6
Verificar quais raízes pertencem ao domínio
.
- Calcular aproximadamente (apenas para checar o sinal):
. - Então
, que está no intervalo . - E
, que é negativo e, portanto, não pertence ao domínio (não pode entrar em ).
- Então
- Conclusão: a única solução admissível é