Determine os valores de m para que:
e) a função f(x)=(m+1) x^2+(2 m+3) x+(m-1) não tenha zero reais.

Passo 1

Estamos com a função quadrática
f(x) = (m+1)x^2 + (2m+3)x + (m-1),
e queremos os valores de m para os quais não existem zeros reais. Para isso, vamos usar o critério da discriminante de uma equação quadrática e também verificar o caso degenerado em que ela deixa de ser quadrática.

Passo 2

Identificamos os coeficientes padrões da quadrática Ax^2+Bx+C:
A = m+1, B = 2m+3, C = m-1
A discriminante é dada por
De<a = B^2 - 4AC

Passo 3

Vamos calcular De<a:
De<a = (2m+3)^2 - 4(m+1)(m-1) = 4m^2 + 12m + 9 - 4l(m^2 - 1r) = 4m^2 + 12m + 9 - 4m^2 + 4 = 12m + 13
Para não haver raízes reais em uma quadrática, precisamos de
De<a < 0 Longrightarrow 12m + 13 < 0 Longrightarrow m < -tfrac1312
Além disso, para que seja mesmo quadrática, exigimos Aneq 0, ou seja mneq -1. Note que -1>-tfrac1312, então na região m<-tfrac1312 já estamos longe de m=-1.

Passo 4

Verificamos o caso m=-1, que anula A. Nesse caso
f(x) = (2m+3)x + (m-1)|m=-1 = 1cdot x + (-2) = x - 2,
que tem exatamente uma raiz real x=2. Logo, m=-1 não entra na resposta.

Resposta

boxedm < -1312

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