Encontre os vértices, os focos e o centro/as assíntotas.
3x^2-27y^2=12.

Passo 1

O enunciado pede pra gente encontrar vértices, focos, centro e assíntotas da hipérbole dada por 3x^2 - 27y^2 = 12. Este conteúdo é de seções cônicas, mais precisamente hipérboles, e para resolver precisamos escrever a equação na forma canônica e usar as definições de a, b e c.

Passo 2

Primeiro vamos dividir ambos os lados da equação por 12 para deixar no formato dots = 1:
3x^212 - 27y^212 = 1
Isso simplifica para
x^24 - y^24/9 = 1
Agora já temos a forma canônica x^2a^2 - y^2b^2 = 1 com a^2 = 4 e b^2 = tfrac49.

Passo 3

Como não há termos de x ou y isolados, o centro da hipérbole é o ponto (0,0). Dos valores acima tiramos
a = raiza^2 = 2, b = raizb^2 = tfrac23

Passo 4

Os vértices de uma hipérbole horizontal x^2a^2 - y^2b^2 = 1 estão em (pm a,0). Logo os vértices são
(2,0) e (-2,0)

Passo 5

Para achar os focos usamos c^2 = a^2 + b^2. Assim,
c^2 = 4 + 49 = 409, c = 2raiz103
Os focos são
l(tfrac2raiz103,0r) e l(-tfrac2raiz103,0r)

Passo 6

As assíntotas de uma hipérbole nessa forma são dadas por y = pm ba ,x. Substituindo os valores,
y = pm tfrac232,x = pm 13x

Resposta

Vértices: (2,0) e (-2,0); Focos: (2√10/3,0) e (-2√10/3,0); Centro: (0,0); Assíntotas: y = x/3 e y = -x/3.

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