Determine os valores de:
2^i

Passo 1

O enunciado pede para calcular 2^i, ou seja, elevar o número real 2 a um expoente imaginário i. Para isso vamos precisar da definição de potência complexa em termos da função exponencial e do logaritmo complexo, além da fórmula de Euler.

Passo 2

Lembrando que, para e , define-se
onde é o logaritmo complexo multivalorado

Passo 3

No nosso caso (real positivo), logo e o argumento principal é . Assim

Passo 4

Substituindo em obtemos
Aplicando a fórmula de Euler em

Passo 5

Portanto a forma geral é
2^i = e^-2pi kl[cosl(ln(2)r) + i,sinl(ln(2)r)r], kinZ
Para o valor principal (escolhendo k=0):
2^i = cosl(ln(2)r) + i,sinl(ln(2)r),
que numericamente vale aproximadamente
2^i approx 0,7692 + 0,6390,i

Resposta

A forma geral multivalorada é
2^i = e^-2pi kl[cos(ln2)+isin(ln2)r], kinZ,
e o valor principal (para k=0) é
2^i = cos(ln2) + isin(ln2)approx 0,7692+0,6390,i

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