20 A razão entre a área da base de um cone e a área de uma secção transversal é 4936. Sabendo que o plano dessa secção dista 9 cm do vértice do cone, calcule a altura desse cone.

Passo 1

O enunciado dá um cone reto de altura H e um plano paralelo à base que corta o cone a 9 cm do vértice, formando uma secção circular. Sabe-se que
área da baseárea da secção = 4936 ááçã
O que vamos usar: em seções paralelas à base, os raios são proporcionais às distâncias ao vértice (semelhança de triângulos) e a área de um círculo cresce com o quadrado do raio.

Passo 2

Seja R o raio da base do cone e r o raio da secção a 9 cm do vértice. Pela semelhança entre o triângulo do vértice até a base e o triângulo do vértice até a secção, temos
rR = 9H Longrightarrow r = R,9H

Passo 3

As áreas são
área da base = pi R^2, área da secção = pi r^2 = pi R^2l(9Hr)^2 ááçã
Logo a razão pedida é
área da baseárea da secção = pi R^2pi R^2,(9/H)^2 = l(H9r)^2 ááçã

Passo 4

Igualando à razão dada,
l(H9r)^2 = 4936 Longrightarrow H9 = 76 Longrightarrow H = 9cdot76 = 212

Resposta

A altura do cone é 212,cm, ou seja, 10,5,cm.

Exercícios relacionados