Determine para que valores de x a inequação
(4-2 a) x^2+(13 a-27) x+(33-13 a)>0
para qualquer valor do parâmetro a tal que 1.

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os valores de x tais que a inequação (4-2a)x^2+(13a-27)x+(33-13a)>0 seja satisfeita para qualquer parâmetro a com 1. O conteúdo aqui envolve inequações paramétricas e o fato de que, para cada x fixo, essa expressão é linear em a. Vamos usar isso para reduzir o problema a testar apenas as extremidades a=1 e a=3.

Passo 2

Primeiro, note que, visto como função de a,
Q(x,a)=(4-2a)x^2+(13a-27)x+(33-13a)=al(-2x^2+13x-13r)+(4x^2-27x+33) Como Q(x,a) é afim em a, para termos Q(x,a)>0 em todo o intervalo 1 basta garantir
Q(x,1)>0e Q(x,3)>0

Passo 3

Calculamos Q(x,1):
Q(x,1)=(4-2)x^2+(13-27)x+(33-13)=2x^2-14x+20=2(x^2-7x+10)=2(x-2)(x-5) Logo
$$Q(x,1)>0\iff(x-2)(x-5)>0
\iff x<2\quadou\quad x>5.$$

Passo 4

Agora Q(x,3):
Q(x,3)=(4-6)x^2+(39-27)x+(33-39)=-2x^2+12x-6=-2l(x^2-6x+3r) Assim
$$Q(x,3)>0\iff x^2-6x+3<0
\iff3-\sqrt6<x<3+\sqrt6.$$

Passo 5

Para a inequação valer para todo ain(1,3), intersectamos as duas condições:
$$\bigl(x<2oux>5\bigr)\cap\bigl(3-\sqrt6<x<3+\sqrt6\bigr).
$$ Isso resulta em
l(x<2 ou x>5r)capl(3-raiz6

Resposta

x\in(3-\sqrt6,2)\cup(5,3+\sqrt6)

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