Determine para que valores de
a inequação
para qualquer valor do parâmetro a tal que
.
Passo 1
O enunciado pede para achar todos os valores de
tais que a inequação
seja satisfeita para qualquer parâmetro
com
. O conteúdo aqui envolve inequações paramétricas e o fato de que, para cada
fixo, essa expressão é linear em
. Vamos usar isso para reduzir o problema a testar apenas as extremidades
e
.
Passo 2
Primeiro, note que, visto como função de
,
Passo 3
Calculamos
:
$$Q(x,1)>0\iff(x-2)(x-5)>0
\iff x<2\quadou\quad x>5.$$
Passo 4
Agora
:
$$Q(x,3)>0\iff x^2-6x+3<0
\iff3-\sqrt6<x<3+\sqrt6.$$
Passo 5
Para a inequação valer para todo
, intersectamos as duas condições:
$$\bigl(x<2oux>5\bigr)\cap\bigl(3-\sqrt6<x<3+\sqrt6\bigr).
$$ Isso resulta em
Resposta
x\in(3-\sqrt6,2)\cup(5,3+\sqrt6)