Determine os valores de k para que a equação diferencial dada seja exata.

Passo 1

A questão pede para encontrar os valores de k que tornam exata a equação diferencial
(6 x y^3 + cos y),dx + (2 k x^2 y^2 - x sin y),dy = 0
Isso envolve o conteúdo de equações diferenciais exatas, usando a condição de exatidão partial M/partial y = partial N/partial x para funções M(x,y) e N(x,y).

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = 6 x y^3 + cos y,
N(x,y) = 2 k x^2 y^2 - x sin y
Em seguida, calculamos as derivadas parciais necessárias:
partial Mpartial y = 18 x y^2 - sin y,
partial Npartial x = 4 k x y^2 - sin y

Passo 3

Aplicando a condição de exatidão partial M/partial y = partial N/partial x, igualamos:
18 x y^2 - sin y = 4 k x y^2 - sin y
Cancelamos -sin y de ambos os lados e, supondo x y^2 neq 0, dividimos por x y^2, obtendo
18 = 4 k Longrightarrow k = 184 = 92

Resposta

k = \tfrac{9}{2}

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