Determine os valores de K para os quais as equações tem razões reais e iguais.
x^2+3-K(2 x-2)=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores de K que fazem a equação quadrática x^2+3-K(2x-2)=0 ter raízes reais e iguais. O conteúdo aqui é discriminante de uma equação do segundo grau e a condição de raízes iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação em sua forma padrão ax^2+bx+c=0. Expandindo o termo com K temos:
x^2+3-K(2x-2)=x^2-2Kx+(2K+3)=0

Passo 3

Agora identificamos os coeficientes: a=1, b=-2K e c=2K+3.

Passo 4

Para que as raízes sejam reais e iguais, o discriminante deve ser zero. O discriminante é dado por:
De

Passo 5

Substituindo os valores de a, b e c temos:
De

Passo 6

Impondo De e resolvendo para K:
4K^2-8K-12=0

Passo 7

Dividindo por 4:
K^2-2K-3=0

Passo 8

Essa é uma equação do segundo grau em K que fatoramos assim:
(K-3)(K+1)=0

Passo 9

Logo, as soluções são K=3 ou K=-1.

Resposta

K = 3 ou K = -1

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