Para as seguintes funções f, encontre o discriminante de f(x)=0 e determine se as razões são reais e diferentes, reais e iguais, ou não existem. Esboce o gráfico de f(x) sem desenhar mais de quatro pontos.
f(x)=9 x^2-12 x+4

Passo 1

O enunciado pede para calcular o discriminante da equação f(x)=0 para f(x)=9x^2-12x+4, determinar a natureza das raízes (reais e diferentes, reais e iguais ou não existem) e esboçar o gráfico sem usar mais de quatro pontos. Vamos usar conteúdos de equações quadráticas: cálculo de discriminante, vértice e esboço de parábola.

Passo 2

Identificamos os coeficientes da forma ax^2+bx+c=0: a=9, b=-12, c=4. Em seguida aplicamos a fórmula do discriminante:
De

Passo 3

Como De, a equação tem raízes reais e iguais (duas raízes coincidentes).

Passo 4

Para esboçar a parábola: a concavidade é voltada para cima (pois a=9>0). O vértice fica em xv=-tfracb2a=tfrac1218=tfrac23 e yv=f(tfrac23)=0, ou seja, (tfrac23,0) é o ponto de tangência ao eixo x. Escolhemos mais três pontos para guiar o esboço:
f(0)=4, ponto (0,4)
f(1)=9-12+4=1, ponto (1,1)
f(2)=36-24+4=16, ponto (2,16)

Resposta

De, raízes reais e iguais; parábola côncava para cima com vértice em (tfrac23,0).

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