- (a) Determine os valores de
, de modo que a função
, com
, possua um máximo e um mínimo locais.
(b) Dada a função
, com
, determine:
i. Os intervalos de crescimento e decrescimento de
.
ii. Os pontos críticos de
.
(b) Dada a função
i. Os intervalos de crescimento e decrescimento de
ii. Os pontos críticos de
Passo 1
Resumindo o enunciado:
– Na parte (a) precisamos achar os valores de para que a cúbica
– Na parte (a) precisamos achar os valores de
tenha um máximo e um mínimo locais. O conteúdo aqui é derivada de polinômios e teste de sinais de
.
– Na parte (b) a função é
– Na parte (b) a função é
e pede (i) intervalos de crescimento e decrescimento e (ii) pontos críticos.
Passo 2
(a) Calculemos a derivada de
As soluções de
satisfazem
Para que esses pontos críticos sejam reais, precisamos de
.
Passo 3
Para existir um máximo e um mínimo locais distintos, é necessário ter duas raízes reais e diferentes em
. Assim
Passo 4
(b) Calculemos a derivada de
Usando a regra do produto,
Passo 5
Vamos fatorar e simplificar:
As raízes de
são
Passo 6
Como
, o sinal de
vem de
e
:
– Para :
, produto
\
crescente.
– Para :
, produto
\
decrescente.
– Para :
, produto
\
crescente.
– Para
– Para
– Para
Resposta
(a)
.
(b.i) é crescente em
e
, e decrescente em
.
(b.ii) Pontos críticos em e
.
(b.i)
(b.ii) Pontos críticos em