1. (a) Determine os valores de k, de modo que a função f(x)=x^3+3 k x+5, com k in R, possua um máximo e um mínimo locais.
    (b) Dada a função f(x)=raizx cdot(ln x)^2, com x>0, determine:
    i. Os intervalos de crescimento e decrescimento de f.
    ii. Os pontos críticos de f.

Passo 1

Resumindo o enunciado:
– Na parte (a) precisamos achar os valores de kinR para que a cúbica
f(x)=x^3+3kx+5
tenha um máximo e um mínimo locais. O conteúdo aqui é derivada de polinômios e teste de sinais de f'.
– Na parte (b) a função é
f(x)=raizx,(ln x)^2, x>0
e pede (i) intervalos de crescimento e decrescimento e (ii) pontos críticos.

Passo 2

(a) Calculemos a derivada de
f(x)=x^3+3kx+5:
f'(x)=3x^2+3k=3l(x^2+kr)
As soluções de f'(x)=0 satisfazem
x^2+k=0Longrightarrow x^2=-kLongrightarrow x=pmraiz-k
Para que esses pontos críticos sejam reais, precisamos de -k>0.

Passo 3

Para existir um máximo e um mínimo locais distintos, é necessário ter duas raízes reais e diferentes em f'(x)=0. Assim
-k>0Long<=ftrightarrow k<0

Passo 4

(b) Calculemos a derivada de
f(x)=x^tfrac12(ln x)^2
Usando a regra do produto,
f'(x)=12,x^-tfrac12(ln x)^2 + x^tfrac12cdot 2ln xcdot1x

Passo 5

Vamos fatorar e simplificar:
f'(x) =(ln x)^22raizx +2ln xraizx =12raizxl((ln x)^2+4ln xr) =ln x,(ln x+4)2raizx
As raízes de f'(x)=0 são
ln x=0 Rightarrow x=1, ln x+4=0 Rightarrow x=e^-4

Passo 6

Como 2raizx>0, o sinal de f'(x) vem de ln x e ln x+4:
– Para 0<x<e^-4: ln x<-4impliesln x+4<0, produto (-)(-)>0\ Rightarrow crescente.
– Para e^-4<x<1: -4<ln x<0impliesln x+4>0, produto (-)(+)<0\ Rightarrow decrescente.
– Para x>1: ln x>0impliesln x+4>0, produto (+)(+)>0\ Rightarrow crescente.

Resposta

(a) k<0.
(b.i) f é crescente em (0,e^-4) e (1,infty), e decrescente em (e^-4,1).
(b.ii) Pontos críticos em x=e^-4 e x=1.

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