Exercício 1
Calcule integralC y d z-2 z d x, em que C é a curva que começa em (1,2,0) e vai até (0,0, raiz5) e está contida na interseção das superfícies definidas por x^2+y^2+z^2=5 e por y=2 x .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralCy,dz-2z,dx
ao longo da curva C que vai de (1,2,0) a (0,0,raiz5) e está na interseção da esfera de raio raiz5,
x^2+y^2+z^2=5,
com o plano
y=2x
O conteúdo aqui é integração de formas diferenciais em espaço, resolvida via parametrização do caminho.

Passo 2

Como C satisfaz y=2x e x^2+y^2+z^2=5, substituímos y=2x na esfera para obter
x^2+(2x)^2+z^2=5 Longrightarrow 5x^2+z^2=5 Longrightarrow x^2+z^25=1
Isso é uma elipse no plano y=2x. Então podemos parametrizar com um ângulo theta:
x(theta)=costheta, y(theta)=2costheta, z(theta)=raiz5,sintheta
Os pontos inicial e final correspondem a theta=0 ( x=1,y=2,z=0) e theta=tfracpi2 ( x=0,y=0,z=raiz5).

Passo 3

Calculamos as derivadas em função de theta:
dxdtheta=-sintheta, dzdtheta=raiz5,costheta
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dx=-sintheta,dtheta, dz=raiz5costheta,dtheta

Passo 4

Na integral
integralCy,dz-2z,dx
substituímos y=2costheta, z=raiz5sintheta, dz e dx:
y,dz-2z,dx =2costhetal(raiz5costheta,dthetar) -2l(raiz5sinthetar)l(-sintheta,dthetar) =2raiz5l(cos^2theta+sin^2thetar)dtheta =2raiz5,dtheta
Integramos de theta=0 a theta=tfracpi2:
integral0^pi/22raiz5,dtheta =2raiz5,l[thetar]0^pi/2 =2raiz5,pi2 =piraiz5

Resposta

piraiz5

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