Determine os valores de k , de modo que o sistema
c x+k x+z=1 2 x+3 y+z=k tenha x+3 y+z=1
Uma única solução

Passo 1

O enunciado pede os valores de k para que o sistema linear
(1+k)x + z = 1, 2x + 3y + z = k, x + 3y + z = 1
tenha uma única solução.
Conteúdo: sistemas lineares com parâmetro. Critério para existência de solução única: a matriz de coeficientes deve ser invertível, ou seja, ter determinante diferente de zero.

Passo 2

Formamos a matriz de coeficientes
A = 1+k & 0 & 1 2 & 3 & 1 1 & 3 & 1
Para ter solução única precisamos de
det(A)neq 0

Passo 3

Calculamos o determinante por expansão na primeira linha:
det(A) = (1+k),3&13&1 -0cdotl|cdotsr| +1cdot2&31&3
Como
3&13&1 =3cdot1-1cdot3=0, 2&31&3 =2cdot3-3cdot1=6-3=3,
segue-se que
det(A)=(1+k)cdot0 + 1cdot3 = 3
Portanto det(A)=3neq0 independentemente de k.

Resposta

O sistema tem solução única para todo kinR.

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