Calcule a distância entre as retas
r1: X=(-1,3,1)+t(1,-2,-1), t in R e r2: X=(0,-3,1)+t(1,1,-1), t in R

Passo 1

O enunciado pede a distância entre as retas
r1:X = (-1,3,1) + t,(1,-2,-1) e
r2:X = (0,-3,1) + s,(1,1,-1).
O conteúdo aqui é a distância entre duas retas em R^3, que, no caso de retas “retilíneas” ou reversas (skew), é dada pelo produto misto envolvendo os vetores diretores e um vetor diferença de pontos.

Passo 2

Identificamos os vetores diretores e vemos que não são múltiplos, logo as retas não são paralelas nem coincidentes, caracterizando retas reversas (skew).
v1 = (1,-2,-1), v2 = (1,1,-1)

Passo 3

A fórmula da distância entre duas retas skew é
d = l|(q0 - p0)cdot (v1 times v2)r||,v1 times v2|,
onde p0 e q0 são pontos quaisquer de r1 e r2, respectivamente.

Passo 4

Tomando
p0 = (-1,3,1), q0 = (0,-3,1),
calculamos o produto vetorial
v1 times v2 = i & j & k 1 & -2 & -1 1 & 1 & -1 = (3,,0,,3)
e seu módulo
|,v1 times v2| = raiz3^2 + 0^2 + 3^2 = 3raiz2

Passo 5

O vetor entre os pontos-base é
q0 - p0 = (0,-3,1) - (-1,3,1) = (1,-6,0)
O numerador do produto misto é
l|(q0 - p0)cdot (v1 times v2)r| = |(1,-6,0)cdot(3,0,3)| = |3| = 3

Passo 6

Substituindo na fórmula, obtemos
d = 33raiz2 = 1raiz2 = raiz22

Resposta

A distância entre r1 e r2 é raiz22.

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